Re: Somatório !

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Vejam a resposta do prof. Rousseau para as questões
dos somatórios.

Uma introdução sumária sobre a fórmula da soma de
Euler-Maclaurin pode ser vista no meu livro de Seq. e
Séries no site

http://escolademestres.com/qedtexte

no formato .pdf.

Para mais detalhes, ver a bibliografia, também mostrada
no site.

[ ]'s
Lu'is

--------
Dear Luis:

    If  the question is whether or not there are known exact values for
these sums, I am rather confident that the answer is no.  The first is
a rapidly convergent series, and one can show that its sum has
the value \int_0^1 x^x dx, but this integral can be done only by
numerical methods.  Proof (neglecting some fine points):

\int_0^1 x^x dx = \int_0^1 e^{x \ln x} dx
                         = \int_0^1 \sum_{k \geq 0} (x \ln x)^k/k!
                         = \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^1 (x \ln x)^k dx
                         = \sum_{k \geq 0} (1/k!) \int_0^{\infty} t^k
e^{-(k+1)t} dt
                                       (by the substitition x = e^{-t})
                         = \sum_{k \geq 0} (1/k!) k!/(k+1)^{k+1}
                         = \sum_{n \geq 1} 1/n^n.

A natural approach to approximating the finite sum is though the
Euler-Maclaurin sum formula, but again one runs into the fact that
x^x does not have an antiderivative expressible in elementary terms.
There must be a known asymptotic formula for the finite
sum, but I don't know what it is off hand.

This summer, the IMO will be in the United States, and I will
be there. I am chair of the Problems Committee and also
Chief Coordinator.  The committee met in Memphis earlier
this month to choose the problems for the Short List, and we
are now busy preparing the book of short listed problems.
After the IMO is over, .....

Cecil


Luis Lopes wrote:

> Dear Cecil,
>
> Hi. Hope you are fine.
>
> Would you have any comments about the series:
>
> a) S = \sum 1/k^k  ,    k=1,2,...
>
> b) S_n = \sum k^k   ,  k=1,2,...,n
>
> Are you going to attend the next IMO?  Where will it take place?
>
> As always, it is a pleasure to write you.
>
> Best regards,
> Sincerely,
> Luís
------------


> -----Mensagem Original-----
> De: Bruno Leite <bruleite@uol.com.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
> Assunto: Re: Somatório !
>
> Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
>
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
> 5234455558817041129429709...
>  Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos
da
> sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
> k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
> até infinito de 1/k^k deve convergir.
>
> Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma
fechada.(eu
> ACHO!!!!)
>
> Bruno Leite
>     -----Mensagem original-----
>     De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>     Para: Obm <obm-l@mat.puc-rio.br>
>     Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
>     Assunto: Somatório !
>
>     1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n
??
>     2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge
??
> pra qt ?
>     Tenho quase certeza de q ela converge,..... mas ñsei pra qt...
>     ¡Villard!

-----Mensagem Original-----
De: Bruno Leite <bruleite@uol.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:50
Assunto: Re: Somatório !


Usando computador: o somatório de 1/k^k converge para
1.29128599706266354040728259059560054149861936827452231731000244513694453876
5234455558817041129429709...
 Dá para provar que converge, sem computador: se você comparar os termos da
sua série com alguma série geométrica fica fácil. Explicando melhor: Para
k>2, 0<1/k^k< 1/2^k, e como a soma até infinito de 1/2^k converge, a soma
até infinito de 1/k^k deve convergir.

Em relação à primeira questão, acho (eu ACHO!) que não tem forma fechada.(eu
ACHO!!!!)

Bruno Leite
    -----Mensagem original-----
    De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
    Para: Obm <obm-l@mat.puc-rio.br>
    Data: Domingo, 27 de Maio de 2001 01:14
    Assunto: Somatório !


    1) É possível calcular o somatório de k^k, com k variando de 1 até n ??
    2) O somatório de (1/k)^k, com k variando de 1 até infinito converge ??
pra qt ?
    Tenho quase certeza de q ela converge,..... mas ñsei pra qt...
    ¡Villard!