Re: Fórmula_de_Heron

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Um jeito bem natural (porém trabalhoso) é assim:

Sejam a>=b>=c as medidas dos lados do triângulo. Seja
h a medida da altura relativa ao maior lado a e seja x
a medida da projeção ortogonal do lado de medida c
sobre o lado de medida a. Por Pitágoras, temos

|x^2 + h^2 = c^2
|(a-x)^2 + h^2 = b^2

Resolvendo este sistema, você encontra x e h em função
de a, b e c. Se não errar conta, encontrará 
h = 2*\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}/a. A área é então a*h/2
= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

As contas podem ser um pouco chatas, mas não se deve
ter medo de se fazê-las, pois é fácil ver que o
sistema pode ser resolvido e que se continuarmos as
contas com certeza chegaremos ao resultado esperado.

Segunda maneira: usando a fórmula S = área =
bc*senA/2.

Elevando ao quadrado, temos

4S^2 = b^2c^2*sen^2 = b^2c^2(1-cos^2 A)
     = b^2c^2*(1-cosA)(1+cosA)

Usando a lei dos co-senos, temos

cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

Observe que agora é só substituir e completar as
contas que chegaremos ao resultado esperado. Mas
podemos dar uma melhorada na conta:

1 + cosA = (2bc + b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)
         = ((b+c)^2 - a^2)/(2bc)
         = (b+c-a)(b+c+a)/(2bc)
         = 2(p-a)p/(bc)

Fatore 1 - cosA, subtitua tudo lá em cima e seja
feliz!

Ah, na hora de fazer estas contas, é sempre importante
ter uma estratégia para fazê-las... Isto é, um "plano"
para fazer as contas. Em problemas cuja resolução é
longa, isso é muito importante!!

Sobre as fórmulas para polígonos inscritíveis: só
conheço a de Bramagupta: se um quadrilátero é
inscritível, a área dele é sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
sendo a,b,c,d os lados do quadrilátero e p =
(a+b+c+d)/2. Você pode pensar na fórmula de Heron como
um caso particular de Bramagupta onde um dos lados do
quadrilátero é zero.

Espero ter ajudado.

[]'s
Shine



--- Hugo Iver Vasconcelos Goncalves
<iver@infonet.com.br> wrote:
> Olá colegas da lista, 
> Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma
> discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da
> área de triângulos... meu prof. disse que nunca
> havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca
> havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar
> a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos
> dar o pontapé inicial???
> Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a
> fórmula de Heron pode ser usada analogamente para
> qualquer poligono inscritível em uma
> circunferência... será q vcs poderiam mostrar como
> fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...???
> Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas
> duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até
> mais
> 
> Hugo
> 


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