Re: Complexos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 11 May 2001, Eduardo Casagrande Stabel wrote:

> Nao sei se perdi alguma mensagem. Mas recebi algumas mensagens dizendo que
> os complexos nao sao ordenaveis (contradizendo o que disse o Nicolau), e uma
> das justificativas era por que os complexos nao sao enumeraveis.

A observação de que C não é enumerável é correta mas não é relevante.
O autor da observação já se emendou, ele queria dizer ordenável e
não enumerável.

Quanto a C ser ou não ordenável, existe um conceito de corpo ordenado.
Corpo é um conjunto onde estão definidos 0, 1, + e * satisfazendo
certas propriedades que nos são familiares (como por exemplo, x*y = y*x).
Um corpo ordenado não é simplesmente um corpo munido de uma relação de ordem:
as operações algébricas do corpo e a relação de ordem devem ser compatíveis
(por definição de corpo ordenado), isto é,
devem satisfazer certas propriedades. Algumas destas propriedades são

x > 0   =>   x^2 > 0
x > y   ->   x+z > y+z

e portanto minha mensagem anterior demonstra que C (com as operações
algébricas usuais) não admite uma relação de ordem (usual ou não)
que faça de C um corpo ordenado. É isto que significa dizer que C
não é ordenável.

Aliás, segue do axioma da escolha que todo conjunto admite uma ordem total;
todo conjunto admite até uma boa ordem, i.e., uma ordem total na qual
todo subconjunto não vazio tem mínimo. Não existe portanto de forma
não trivial um conceito de conjunto ordenável.

[]s, N.