Re: Dois problemas de Teoria dos Números.

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Os dois problemas ja aparecerem, acho que mais de uma vez nesta lista.

Eu resolveria o segundo problema da seguinte forma.
Seja N um numero natural com P(N)=p, que eh primo. Criamos o conjunto
X={P(N), P(N+p),P(N+2p),...,P(N+k*p),...}, e mostramos que todo o elemento
de X eh divisivel por p.

Veja que:

P(N+k*p)-P(N) = a_0*[(N+k*p)^n - (N)^n] + a_1*[(N+k*p)^(n-1) - (N)^(n-1)] +
... + a_0*(0)

Eh um resultado bastante conhecido que (a^N - b^N) = (a - b)(a^(N-1) +
a^(N-2)*b + ... + b^(N-1)), de onde se tira que cada parcela (N+k*p)^m - N^m
eh divisivel por (N+k*p) - N = k*p, em particular todas as parcelas sao
divisiveis por p. E portanto P(N+k*p)-P(N) eh divisivel por p, como P(N) eh
justamente p, P(N+k*p) eh divisivel por p. Logo todo elemento de X eh
divisivel por p.

Se tivermos finitos x inteiros, com P(x) composto. Teremos que em X ha
infinitos numeros primos, logo existem infinitos elementos em X iguais a p,
mas isso implica uma infinidade de solucoes x para P(x)-p=0, mas como P(x)-p
eh um polinomio de grau n, existem no maximo n raizes de P(x)-p=0, uma
contradiccao! Portanto existem infinitos x inteiros, com P(x) composto.

Eduardo Casagrande Stabel.




From: Marcos Eike <eikemed@ig.com.br>

> Pessoal, vcs poderiam fornecer soluções interessantes para:
>
> 1) Let K be a positive integer. Prove that the sequence of natural numbers
> contains an infinite set of sequence M, M+1, ..., M+K-1, not containing
> primes.
>
> 2)Prove that there an infinite numbers composite among the numbers
> represented by the polynomial a_0 * x^n + a_1 * x^(n-1) + ... + a_n, where
> a_0, a_1, ... , a_n are integer and a_0 > 0.
>
> Por favor!!!
>
> Ats,
> Marcos Eike
>
>
>