funcoes continuas e uniformemente continuas

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

Gostaria de compartilhar com o pessoal da lista um problema de Analise Real
que resolvi hoje.  Gostaria de saber se a solucao esta boa ou se o problema
pode ser feito sem usar a contrapositiva.

Problema: Se toda funcao continua f:X->R eh uniformemente continua, prove
que o conjunto X eh fechado, porem nao necessariamente compacto.

Solucao: usarei a contrapositiva para resolver esse problema

contrapositiva:

(p ==> q) <==> (~q ==> ~p)

Para provar que:

se toda funcao continua f:X->R eh uniformemente continua, entao X eh
fechado;

basta provar que:

se X nao eh fechado entao existe uma funcao f:X->R continua que nao eh
uniformenete continua.

Suponha que X nao eh fechado.  Entao existe um ponto b aderente a X que nao
estah em X.  A funcao f:X->R dada por f(x)=1/(x-b) eh continua pois eh a
restricao ao conjunto X da funcao continua g:R-{b}->R, g(x)=1/(x-b) (toda
restricao de funcao continua eh continua).  A funcao g(x) eh continua pois
eh o quociente de duas funcoes continuas.  Por outro lado f(x)=1/(x-b) nao
eh uniformemente continua pois nao existe lim f(x) quando x tende a b,
apesar de b ser ponto de acumulacao de X (veja teorema abaixo)

TEOREMA.  Se f:X->R eh uniformemente continua entao para cada ponto de
acumulacao b de X, existe lim f(x) quando x tende a b.

Este teorema consta do livro Analise Real, volume 1, Elon Lages Lima

Ficou provado pela contrapositiva que, se toda funcao continua f:X->R eh
uniformemente continua, entao X eh fechado.  Por outro lado, se X=Z entao X
nao eh limitado (logo nao eh compacto), mas toda funcao continua em X eh
uniformemente continua.  Portanto, se toda funcao continua f:X->R eh
uniformemente continua, entao X nao eh necessariamente compacto.

Eric.