RES: probleminhas

["Einstein" <einstein-n@xxxxxxxxxxxx>]

2)Considere um hex�gono regular ABCDEF.Sejam P e M as interse��es da
diagonal BD com as diagonais CF e CE respectivamente, e N o ponto de
interse��o das retas AD e CE. Determine a �rea do triangulo PMN em fun��o do
lado deste hex�gono.

Basta ver que AD e FC s�o diametros. Ou seja mede 2l, onde l � o lado.
Da�, chamando o centro da circunfer�ncia circunscrita de O, teremos que
tri�ngulo ODC � �quil�tero e sua �rea � 1/6 da �rea do pol�gono.
O quadril�tero PCDN � inscrit�vel pois: PCN=30, PDN=30 da�, PDC=CND=30,
DCN=DPN=30 e P �ponto m�diode BD pois PC � Bissetriz do tri�ngulo is�sceles
BCD, e com isso, mediana e altura. Da�: CPD=90=CND. P tb � ponto m�dio de
OC:
;da� temos que a �rea do tri�ngulo OPD � 1/2 da �rea do tri�ngulo OCD e com
isso 1/12 da �rea do hex�gono. Mas N � ponto m�dio de OD, da�:
a �rea de NPD � 1/2 da �rea do tri�ngulo OPN, ent�o 1/24 da �rea do
hex�gono.
Mas M � o baricentro do tri�ngulo OCD, ent�o MD/MP = 2/1, e da� tri�ngulo
MPN possui 1/3 da �rea do tri�ngulo NPD e da�: 1/72 da �rea do hex�gono.
Como a �rea do hex�gono vale seis vezes l ao quadrado vezes  rais quadrada
de 3 sobre 4, temos que a area do triangulo MPN em fun��o do lado �:
   l ao quadrado raiz de 3 sobre 48.

Desculpe por algum eventual erro de conta e os n�meros por extenso, � que eu
n�o sabia como escrev�-los no teclado...