Re: divisibilidade

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Nossa! Achei que, provado que os fatores primos eram os mesmos,
completar a prova era infantil. Nao eh nao.
Suponha que os expoentes do fator primo p em a e b sao respectivamente s
e t.
Como a divide b^2, s<2t (< significa menor ou igual). Bomo b^2 divide
a^3, 2t<3s ......

No fim encontra-se
s<2t<3s<4t<5s....
Vamos mostrar que t/s (que chamarei de r) eh igual a 1.
Dividindo as desigualdades por s encontra-se
1<2r<3<4r<5<6r......
1/2<r<3/2
3/4<r<5/4
5/6<r<7/6
.........
As sequencias (2n-1)/2n e 
(2n+1)/2n tendem para 1 e (sanduiche) r=1.

 

José Paulo Carneiro wrote:
> 
> Salvo melhor juizo,
> o fato de a e b terem os mesmos fatores primos, nao significa que sejam
> iguais.
> Creio que a=2^8 e b=2^9 constituem um contra-exemplo.
> a=2^8 | b^2=2^18 | a^3=2^24 | b^4=2^36 | a^5=2^50
> JP
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 10:18
> Assunto: Re: divisibilidade
> 
> >Se a=1, b^2 divide a^3 implica b^2 divide 1 e como b eh positivo, b=1.
> >Se b=1, a divide b^2 implica a divide 1 e como a eh positivo, a=1.
> >Logo, basta provar nos casos a e b maiores que ou iguais a 2.
> >Se p eh um fator primo de a, p eh tambem de b^2 e portanto de b.
> >Se p eh um fator primo de b, p eh tambem de b^2 e portanto de a^3 e
> >portanto de a.
> >Logo, os fatores primos de a e b sao os mesmos.
> >
> >Marcelo Souza wrote:
> >>
> >> Oi pessoal!
> >>
> >> Alguém poderia resolver o problema abaixo para mim
> >>
> >> 1. Sendo a e b inteiros positivos tais que a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4,
> >> b^4|a^5......, prove que a=b.
> >>
> >> agradeço antes
> >> abraços
> >> marcelo
> >>
> >>
> ____________________________________________________________________________
> _________
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