Re: Integral

["Douglas Coimbra de Andrade" <douglasca@xxxxxxxxxx>]

Vou usar a notacao int(f(x)*dx) como "a integral da funcao x a respeito de
x". Por exemplo,
int(3*x^2*dx)=x^3 (x^n significa x elevado a n).

Voce quer calcular I=int(arc sen (x*sqrt(2))*dx). Vamos fazer a substituicao
de variaveis

sen(t)=x*sqrt(2)

isso implica que cos(t)dt=sqrt(2)*dx

Vou fazer uma alteracaozinha no original ali.

I=int(arc sen(x*sqrt(2))*dx)=(1/sqrt(2))*int(arc
sen(x*sqrt(2))*sqrt(2)*dx)=int(arc sen(sen(t))*cos(t)*dt)/sqrt(2)

I=int(t*cos(t)*dt)/sqrt(2)

Vou integrar esta ultima ali por partes. Seja f(t)=t, f'(t)=1, g(t)=sen(t),
g'(t)=cos(t). Sabe-se que

int(f(t)*g'(t)*dt)=f(t)*g(t)-int(g(t)*f'(t)*dt) ou seja

int(t*cos(t)*dt)=t*sen(t)-int(1*sen(t)*dt)=t*sen(t)+cos(t)

Nossa integral entao vira

I=int(t*cos(t)*dt)/sqrt(2)=(t*sen(t)+cos(t))/sqrt(2), mas temos que voltar o
x para nossa equacao. Se

sen(t)=x*sqrt(2) entao cos(t)=sqrt(1-sen²(t))=sqrt(1-2*x^2) (em que sen²(t)
eh o seno ao quadrado de t). Sua integral fica

I=(arc sen(x*sqrt(2))*x*sqrt(2)+sqrt(1-2x^2))/sqrt(2)

espero que tenha sido possivel entender. Mande uma resposta se nao tiver
entendido

Valeu!

Douglas
    -----Mensagem original-----
    De: Davidson Estanislau <davidson@cemag.com.br>
    Para: obm <obm-l@mat.puc-rio.br>
    Data: Quinta-feira, 30 de Novembro de 2000 07:54
    Assunto: Integral


    Qual é a função primitiva (integral) de:

    arc sen (sqrt(2)*x)

    onde sqrt significa raiz quadrada.

    Davidson