Re: Um limite muito dificil

["=?x-user-defined?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta eh sequencia gerada pela aplicacao do metodo de Newton-Raphson a funcao
f(x)=x^n-c.  A convergencia pode ser demonstrada por processos aplicaveis de
um modo a geral a toda uma classe de funcoes que inclui esta (e que estao
nos livros de Calculo Numerico), mas tambem pode ser feita por metodos "ad
hoc". Vou dar so a linha geral. Faca primeiro para c>1 (o caso <1 sai depois
como consequencia do primeiro), e tome a primeira aproximacao x(0) uma
aproximacao por excesso de
c^(1/n).
O processo iterativo eh x(m+1)=g(x(m)), onde g(x)=(1-1/n) x(m) + c/[n.
x(n)^(m-1)].
Mostre que:
1) c^(1/n) eh o unico ponto fixo de g, isto eh, g(x)=x se e so se x=c^(1/n);
2) modulo de g(b)-g(a) eh menor que ou igual a q vezes modulo de b-a, onde a
e b sao maiores que c^(1/n) e q=1-1/n (observe que 0<q<1). Esta parte pode
ser feita diretamente ou usando que o modulo da derivada de g eh menor que q
(sempre para x>c^(1/n)).
3) Dahi segue que modulo de x(m+1)-x(m) eh menor que ou igual a q vezes o
modulo de x(m)-x(m-1).
4) Dahi segue que a sequencia x(m) eh fundamental (ou de Cauchy) e portanto
converge.
5) Como x(m+1)=g(x(m)), segue que a sequencia converge a c^(1/n).
JP

-----Mensagem original-----
De: Jorge Peixoto Morais <jorge_peixotom@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 30 de Novembro de 2000 16:23
Assunto: Re: Um limite muito dificil


>
>----- Original Message -----
>From: "Augusto Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Wednesday, November 29, 2000 11:38 PM
>Subject: Re: Um limite muito dificil
>
>
>ILEGÍVEL
>
>> Jorge Peixoto Morais wrote:
>>
>> A_(i-1)=k, e A_i= [(n-1)k +C/(k^(n-1)]/n.
>> Prove que essa sequencia tende a (C)^(1/n) quando i tende a infinito
>> (a_0 eh qualquer real diferente de zero).
>> Eu usei "k" soh para nao escrever A_(I-1) na formula, o que a deixaria
>> confusa.
>
>Tentarei ser mais simples (se um ser supremo como Morgado, O Grande,   diz
>que eh ilegível, eu nao posso discordar!).
>Tome um real t. Divida C por t elevado a (n-1). Adicione isso a (n-1)*t.
>Divida tudo por n. Tome o resultado dessa operacao e repita o processo,
>usando o resultado no lugar de "t". Prove que o limite disso, depois de
>"infinitas" operacoes, eh c^(1/n) (esse eh um metodo extremamente eficiente
>de obter aproximacoes boas de c^1/n, escolhendo para t a raiz n-esima - por
>excesso - de c e aplicando o processo 1 ou 2 vezes. Por exemplo, raiz
cubica
>de 7 eh semelhante a (2*2 +7/4)/3, e quando isso eh elevado ao cubo o erro
>eh de uns 4 centesimos. E soh aplicamos o processo uma vez!)
>
>