N'umeros de Hamilton

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Luiz,
Tudo Legal ?

E a primeira vez que vejo uma mensagem sua em minha caixa de
correio. Voce deve ser novo na lista ... Bem-Vindo ! Prazer
em conhece-lo ! 

Eu me referi explicitamente a relacao entre V ( velocidade )
e X ( posicao ) porque :

1) Esta lista e acomopanhada por muitos alunos de nivel
medio e, neste nivel, a introducao a Fisica Quantica ( Por
Exemplo : Atomistica, de Feltre-Setsuo ) que e dada se
refere somente a esta duas grandezas

2) A maior parte da Fisica que e estudada pelo imensa
maioria dos alunos de graduacao em Matematica e Engenharia (
outro tipo de leitor desta lista )e  uma visao meramente
introdutória de Relatividade e Quantica.

Foi pensando nestes dois aspectos que eu citei
preferencialmente a aplicacao do principio das incertezas ao
binomio Velocidade X Posicao.

Eu fiz os cursos basicos de Fisica para um estudante de
Engenharia e, por interesse e curiosidade propria,
acompanhei cursos das Escolas de Fisica e Matematica. Os
livros em que alicercei meus CONHECIMENTOS BASICOS basicos
devem ser do conhecimento do Sr :

1) Curso de Fisica de Berkeley ( varios volumes, alguns em
ingles )
2) Introducao da Relatividade, de Resnick ( um volume )
3) Fisica Quantica, de Eilemberg ( Um volume, grosso )

A exposicao que ouvi da Teoria de Dirac usava, realmente, o
esquema de setas e era explicitamente referenciada pelo
professor como Diagrama das Setas. Parece-meque com isso ele
queria contrapor a exposicao de Feynman em que SE CONSIDERAM
AS VARIAS TRAJETORIAS POSSIVEIS ( aqui deve estar a origem
da palavra Historia ) e, a seguir, somam-se tudo, dando o
caminho mais provavel. 

Inclusive, se nao me falha a memoria, foi assim que Feynman
expos sua Teoria a uma plateia que tinha, entre outros
Fisicos, o proprio Dirac, no MIT.

Eu fiquei interessado neste ponto que vista ( sobre o qual
sei pouco e que pretendo aprofundar ) de Feynman porque
achava intuitivo que o movimento fisico e individual de um
corpo que faz parte de um sistema deve ser participativo da
evolucao do sistema, objetivando o seu caminho mais
provavel, como na historia individual de um ser vivo que faz
parte de um eco-sistema.

Imagine que voce quer descrever a evolucao de uma Borboleta
( quon ). O movimento dela tem uma INDETERMINACAO INTRINSECA
( incerteza ) que nao nos pertuba, pois para os nossos
objetivos basta sabermos o LOCAL MAIS PROVAVEL ONDE ELA ESTA
( orbital ). Se, porem, voce quer descrever o movimento
fisico e individual dela, o seu caminhar indeterminado e um
problema e, muito provavelmente, voce vai buscar VARIAVEIS
OCULTAS que tornem determinado o que, por natureza, e
indeterminado. Mesmo que sua descricao de evolucao nao
acerte o destino de uma borboleta individual, a da maioria
voce vai acertar, ALEM DE PRESERVAR A INDIVIDUALIDADE que
elas, como seres vivos, merecem ter.

Isso e meramente uma ideia, sem maiores pretensoes, mas foi
o que me estimulou a estudar a formulacao de Feynmam. Eu
acho isso tudo muito interessante, mas e claro que tudo pode
nao passar de uma ideia maluca que vez ou outra nos visita :
e dificil voce estudar passivamente sem refletir sobre o que
esta aprendendo !

Voce ja leu "O Fim das Certezas", de Ylia Prigogine ? E um
respeitavel Prof, detentor de um Premio Nobel. O que voce
acha das ideias dele ?

Sobre Fisicos que Contribuem para a Matematica, concordo em
genero, numero e grau contigo ... Dentre as centenas de
Fisicos que a Humanidade ja teve e tem, alguns poucos
contribuiram para o Progresso da Matematica. A Maioria usa
aquilo que os Matematicos ja criaram.   

Os exemplos que o Sr cita sao respeitaveis. O Calculo que
Newton criou, em parte para abordar os problemas derivados
de sua teoria gravitacional ( Para efeitos gravitacionais,
uma distribuicao esfero-simetrica de massa se comporta como
se toda a sua massa estivesse concentrada no centro
geometrico da esfera ) e a funcao delta de Dirac ( impulso
);

D(x) = 0, se x e diferende de zero
D(x) = infinito, se x = o
integral de D(x) de -inf a +inf = 1

Muito bem explicada e tornada manipulavel pela Teoria das
Distribuicoes de um grande Matematico Frances ( E Laurent
alguma
coisa ). 

Em verdade, Matematica e Fisica deveriam ser uma unica
ciencia, dado as profundas ligacoes que elas guardam. Eu
posso estar errado, mas acho que muitas belas e importantes
conquistas matematicas nao seriam possiveis sem os problemas
suscitados pelo mundo fisico ...

Bom, o Sr deve ser um Prof de Fisica ou Estudante Avancado e
eu agradeco e estou aberto a qualquer ensinamento que o Sr
desejar me transmitir. 

Bom, aqui e uma lista de discussao de problemas de
matematica ( preferencialmente de nivel medio ) e o nosso
moderador autorizou discutirmos tambem problemas de Fisica.
Vamos discutir um ?

O Problema abaixo, com algumas modificacoes que fiz, foi
proposto como um desafio em outra lista de discussao. Ele e
simples, mas eu encontrei uma "solucao lunar" interessante
... ( na resposta voce vai entender porque digo "solucao
lunar" ) que gostaria de discuti-lo e generaliza-lo contigo.

Depois que voce apresentar sua solucao ( tenho certeza que
voce vai acha-lo simples ) eu apresento a minha. Ta legal ?

PROBLEMA : Uma esfera pontual de massa M e abandonada do
repouso de uma altura H do solo. Ela cai sobre um plano
inclinado. Seja :

1) Teta = T, a inclinacao do plano em relacao ao solo

2) L, a distancia entre o ponto, ponto "A", onde ocorre o
primeiro choque ( entre a esfera e o plano ) e o ponto,
ponto "B", onde o plano toca o solo ( L e medida ao longo do
plano )

Que relacao deve existir entre os elementos dados ( M, H,
T=teta, ) para que a esfera sempre toque o ponto "B" ?

Um Grande Abraco pra Voce
Paulo Santa Rita
2,1102,18092000

n Fri, 15 Sep 2000 21:01:15 -0300
Luiz Ozorio <ozorio@if.usp.br> wrote:
>Olá Paulo.
>Em em física nunca ouvi falar em "setas" de Dirac ou
>mesmos histórias de
>Feynman, o que existe no meio acadêmico dos físicos, que
>de forma
>nenhuma negligenciam a matemática, pois são suas
>ferramentas de
>trabalho, basta olhar a contribuição de físicos como
>Newton(cálculo
>integral e diferencial) Dirac(funções delta de Dirac uma
>generalização
>do conceito de função) e tantas outras. As "setas" de
>Dirac a que vc se
>refere devem ser os "bra" e os "ket" de Dirac que são
>representações dos
>estados quânticos de uma partícula e estão associados as
>funções de
>ondas de quadrado-integrável  $\psi(\vec r)$.Quantos as
>"historias de
>Feynman"(R.P.Feynman estas são muitas e divertidas) mas vc
>deve estar se
>referindo aos diagramas de Feynman que são representações
>diagramáticas
>das interações entre partículas.
>Não sei por quais livros vc tem estudado física moderna
>mas a maioria 
>deste falam das outra relações de incerteza, mesmos os de
>graduação. 
>Um abraço, 
>Ozorio. 
>
>
>
>
>
>
>Paulo Santa Rita wrote:
>> 
>> Ola Prof Jose Paulo,
>> Como vai ?
>> 
>> Fiquei muito feliz em receber esta sua mensagem. E a
>> primeira desde muito tempo. Como estao todos ?
>> 
>> E verdade. O nome correto e Feynman. Eu sempre cometo
>esses
>> erros simplorios, pois escrevo com certa pressa, dado
>que a
>> maquina que uso nao esta sempre disponivel.
>> 
>> Eu nao conheco esses livros de divulgacao a que o Sr se
>> refere. Eu tenho muito poucos livros deste tipo, pois
>eles
>> costumam ser muito caros. Mas vou ver se encontro
>algum(ns)
>> por aqui ( acho dificil ! ). Nao sei se o Sr concorda
>> comigo, mas o mal dos livros de divulgacao e que eles
>nao
>> nos permitem uma compreensao detalhada, ficando em geral
>so
>> "no papo". Eu, por enquanto, acho melhor estudar o
>assunto
>> "a vera", com material didatico, artigos e muitos
>> exercicios. E fazendo muitos exercicios e refletindo
>sobre
>> eles, investigando os limites de sua aplicabilidade,
>> compondo pequenos artigos e refazendo experiencias (
>quando
>> possivel ) e demonstracoes que se aprende. Aprender e
>uma
>> luta !
>> 
>> Nao sei se se pode falar em "simpatia por um tema", mas
>o
>> certo e que as ideias quanticas sempre me atrairam muito
>e
>> mesmo antes de conhecer todas as implicacoes das
>relacoes de
>> incertezas ( e acredito que ainda nao conheca todas ) eu
>ja
>> era um firme adepto da tese holista e indeterminista.
>Ela
>> nos da uma maior liberdade de pensamento. Francamente,
>> depois do Teorema de Godel, me parece que a segunda
>maior
>> conquista da humanidade no seculo XX foi a mecanica
>> quantica.
>> 
>> O Teorema de Godel na Matematica e as relacoes de
>incertezas
>> na Fisica acabaram por completo com as pretensoes dos
>> formalistas e reducionistas de forma geral, abrindo
>caminho
>> para possibilidades insuspeitas. A esperanca em um
>futuro
>> melhor para a humanidae e muito mais certa com eles que
>nos
>> modelos anteriores.
>> 
>> A principio o Teorema de Godel foi quase completamente
>> ignorado,mas vem ganhando atencao gradativamente e tenho
>> lido muitos cerebros ilustres o apreciarem por diversos
>> angulos e quase ja consigo demonstra-lo por completo. Eu
>> imagino que doravante vao comecar a surgir mais e mais
>> exemplos de teoremas bastantes verossimeis e, no
>entanto,
>> indemonstraveis dentro dos axiomas e objetos
>tradicionais
>> dos diversos ramos da Matematica : isto mostrara a
>falencia
>> do metodo axiomatico e obrigara os Matematicos buscarem
>> novas formas de tratarem os problemas. O CARA LA DE CIMA
>nao
>> brinca e nao inspirou Godel para ele produzir um
>resultado
>> tao importante sem maiores intencoes ...
>> 
>> O mesmo se diga das relacoes de incertezas !
>> 
>> Esse papo e longo, mas, se Deus Quiser, nos teremos
>> oportunidades de discutir isso pessoalmente.
>> 
>> Um abracao pro Sr, e para os Prof Wagner, Morgado,
>Nicolau e
>> Gugu
>> 
>> Paulo Santa Rita
>> 6,1813,15092000
>> 
>> 
>> 
>> On Fri, 15 Sep 2000 15:52:53 -0300
>> "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?="
>> <jpqc@uninet.com.br> wrote:
>> >Caro Paulo:
>> >O nome correto eh Feynman, mais precisamente,
>> >Richard Feynman, fisico americano, tambem premio Nobel
>em
>> >Fisica,
>> >que esteve no Brasil. Ele tem livros de divulgacao
>sobre
>> >todos esses
>> >assuntos, tais como: "Six easy pieces" (6 pecas faceis)
>e
>> >"Six not so
>> >easy pieces" (6 pecas nao tao faceis).
>> >JP
>> >
>> >-----Mensagem original-----
>> >De: Paulo Santa Rita <psr@zipmail.com>
>> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >Data: Sexta-feira, 15 de Setembro de 2000 10:21
>> >Assunto: Re: N'umeros de Hamilton
>> >
>> >
>> >>Oi Leonardo,
>> >>Tudo Legal ?
>> >>
>> >>Com relacao ao nome, voce esta certo  : O  correto e
>> >>"Heisenberg". Quanto a designacao do Principio, nao. O
>> >nome
>> >>deste principio flutua ao sabor dos autores e e mesmo
>uma
>> >>questao de somenos importancia o problema do "nome
>> >correto".
>> >>O que e importante e uma compreensao precisa do
>conteudo
>> >>factual do Principio.
>> >>
>> >>Em Fisica Elementar este Principio costuma ser
>> >apresentado
>> >>como segue : Nao e possivel se determinar, por nenhum
>> >meio
>> >>Matematico ou Experimental, a posicao e a velocidade
>de
>> >um
>> >>eletron com  a precisao que arbitrariamente
>desejarmos.
>> >>
>> >>Para ver o porque disso basta sabermos que os eletrons
>(
>> >ou
>> >>outro quon qualquer ) se comportam como particulas em
>> >suas
>> >>interacoes com os fotons ( Quantum de Luz ). Assim, se
>> >>"ilumnarmos pouco" o eletron, poderemos determinar com
>> >>grande precisao a sua velocidade, mas teremos uma
>grande
>> >>incerteza com respeito a sua posicao.Por outro lado,
>se
>> >>"iluminarmos muito", iremos determinar com grande
>> >precisao a
>> >>posicao, mas teremos uma grande indeterminacao com
>> >respeito
>> >>a sua velocidade.
>> >>
>> >>Observe que aqui, iluminar pouco ou muito significa,
>> >>respectivamente, diminuir ou aumentar os choques dos
>> >quons
>> >>com os fotons, o que diminui ou aumenta a
>indeterminacao.
>> >>
>> >>Matematicamente Heisenberg mostrou que:
>> >>
>> >>(deltaX)*(deltaV) = Constante
>> >>
>> >>Assim, se deltaX ( incerteza quanto a posicao ) por
>> >pequeno,
>> >>isto e, soubermos bem a posicao do quon, o deltaV (
>> >>incerteza quanto a velocidade ) sera grande e
>vice-versa.
>> >>
>> >>Como se ve, o Principio das Incertezas ( ou
>> >Indeterminacao )
>> >>e uma consequencia das interacoes que os quons fazem
>> >entre
>> >>si ( o foton e um quon ). Agora, o que muitos nao
>sabem e
>> >>que a relacao de incertezas nao se aplica apenas ao
>> >binomio
>> >>( posicao X velocidade ). Para cada propriedade de um
>> >quon,
>> >>existe uma outra que guarda com a primeira uma relacao
>de
>> >>incerteza identica a apresentada acima.
>> >>
>> >>Os livros medios ( e mesmo os de graduacao em Fisica )
>> >nao
>> >>costumam falar nestas outras propriedades porque a
>ideia
>> >de
>> >>posicao e velocidade sao mais familiares ( e o que
>penso
>> >) e
>> >>porque o formalismo matematico necessario exigir um
>> >melhor
>> >>preparo, coisa que geralmente e negligenciado pelos
>> >>estudantes de Fisica.
>> >>
>> >>E interessante ressaltar que Einstein nunca aceitou a
>> >>relacao de incertezas e tudo fez para derruba-la,
>nunca
>> >>conseguindo ( Gracas a Deus ! ). Ele imaginava que
>esta
>> >>indeterminacao trazida a Fisica pelo Principio da
>> >Incertezas
>> >>era apenas uma expressao de nossa ignorancia e que o
>> >futuro
>> >>iria revelar "variaveis ocultas" que, devidamente
>> >abordadas,
>> >>iriam extinguir a indeterminacao da Fisica.
>> >>
>> >>Se voce observar bem, Einstein e um Fisico Classico.
>Ele
>> >>representa a culminancia e Fim da Fisica Classica. A
>> >Fisica
>> >>realmente Moderna comeca com Bohr, Heisemberg, Feynam,
>> >Dirac
>> >>e outros. Quem esta chateado e desiludido com as
>> >besteiras
>> >>que o mundo oferece, devia estudar Fisica Quantica.
>Nela,
>> >O
>> >>Maravilhoso e a realidade. Um exemplo fraco de seu
>poder
>> >sao
>> >>os comptadores quanticos. Se o Fraco e tao
>espetacular, o
>> >>que se esperar dos resultados fortes ...
>> >>
>> >>Muitas poucas coisas fazem tao bem a alma quanto o
>estudo
>> >da
>> >>Mecanica Quantica. Ela e o Teorema de Godel da Fisica.
>> >>
>> >>A melhor formulacao e da Feynam. Mas e bom se seguir a
>> >ordem
>> >>cronologica : Matrizes de heisemberg, Equacao de
>> >>Schrodinger, "setas" de Dirac e Historias de Feynam.
>> >>
>> >>Eu poderia falar muito sobre esse tema, pois e algo
>que
>> >>gosto muito e tenho estudado seguidamente. Mas acho
>que
>> >por
>> >>enquanto esta bom.
>> >>
>> >>Um abraco pra voce
>> >>Paulo Santa Rita
>> >>6,0955,15092000
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>
>> >>On Fri, 16 Oct 1998 20:53:39 -0300
>> >>"Leonardo Motta" <lmotta@amazon.com.br> wrote:
>> >>>o nome nao e' Heisenberg? (e nao Eisemberg) :) E o
>> >>>principio nao é  da
>> >>>incerteza? (e nao da indeterminacao...) :)
>> >>>
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