Re: trapezio

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal !

Seja um trapezio de bases "a" e "b" e suponhamos, sem perda
de generalidade, que a < b. Queremos tracar uma paralela as
bases de forma que o trapezio fique dividido em dois outros,
cujas areas ( o de cima para o de baixo ) estao entre si
assim como "p" esta para "q".

Tracando a paralela, suposta de comprimento "x" e, a seguir,
tracando pelo vertice superior direito do trapezio original
uma paralela ao lado esquerdo, sejam "H1" e "H2" as alturas
dos trapezios ( superior e inferior respectivamente
)formados.

Entao :

(Paralelograma superior + triangulo superior)/(Paralelograma
inferior + trapezio inferior) = p/q

Mas :

Paralegrama superior = H1*a
Paralelograma inferior= H2*a
Triangulo superior = (H1*(x-a))/2
Trapezio Inferior = (((x-a)+(b-a))/2)*H2

Logo :

(H1*a + (H1*(x-a))/2)/(H2*a + (((x-a)+(b-a))/2)*H2) = p/q
(H1/H2)*((a+x)/(b+x)) = p/q
(a+x)/(b+x) = (p/q)*(H2/H1)

Da semelhanca dos trinagulos tiramos que H1/(H1+H2)=
(x-a)/(b-a) ou :
H2/H1 = (b-x)/(x-a). Substituindo acima :

(a+x)/(b+x) = (p/q)*((b-x)/(x-a))
(x^2 - a^2)/(b^2 - x^2) = p/q

Resolvendo esta equacao, achamos :

x = raiz_2( (p*(b^2)  +  q*(a^2))/(p + q) )

Se os trapezios sao equivalentes, entao p=q=1. Logo :

x = raiz_2( (a^2 + b^2)/2 )

Note que, nesta formula, um triangulo pode ser visto como um
trapezio em que a base menor e igual a zero, isto e : a=0.
Assim, para um triangulo de base "b" ficaria :

x= b*raiz_2( p/(p+q) )

Independente da altura do triangulo !

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1050,11092000





On Sat, 9 Sep 2000 20:57:28 -0300
"Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br> wrote:
>Não acreditei muito nessa sua solução não.... sabe por que
>?? Você utilizou
>um argumento, que dessa forma, valeria para qualquer
>segmento que dividisse
>o trapézio dado em outros dois { ñão necessariamente
>equivalentes }. Então,
>vamos ao que interessa ! { Mesmo sem contar com uma
>figura, o que ajudaria
>bastante}.
>   Sejam H a altura do trapézio superior, J a do inferior
>e X a medida do
>segmento traçado ! Trace uma paralela a um dos lados do
>trapézio original.
>Assim, será formado um triângulo de base 18, com uma
>paralela à base em seu
>interior medindo X-32. Como os trapézios são equivalentes
>{ você não usou
>isso pra nada}, temos : (X+32)H = (X+50)J....  E, pela
>semelhança dos
>triângulos formados, vem que 18/(X-32) = (H+J)/H .... J/H
>= (50-X)/(X-32).
>Mas J/H = (X+32)/(X+50), então, temos (50-X)/(X-32) =
>(X+32)/(X+50), o que
>implica em X = 41,97618372 que não é 40.
>     Abraços
>         ¡Villard!
>-----Mensagem original-----
>De: Jorge Peixoto Morais <jorge_peixotom@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Sábado, 9 de Setembro de 2000 18:04
>Assunto: Re: trapezio
>
>
>>
>>
>>
>>>From: "Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: trapezio
>>>Date: Sat, 09 Sep 2000 17:08:29 GMT
>>>
>>>Fala, galera!
>>>    Alguém poderia me dar uma mão com esse problema:
>>>-Num trapézio de bases 32 e 50, traça-se paralelamente
>às bases um
>segmento
>>>x de forma que esse segmento divide o trapézio em dois
>trapézios menores
>>>equivalentes. Quanto mede o segmento x?
>>>Obrigado
>>>Abraços
>>>Marcelo
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>>E aí? Bom, esse exercício parece ser na verdade bem
>simles. É óbvio que os
>>dois trapézios resultantes tem os mesmos ângulos. Então
>basta que tenham
>>lados proporcionais. Então 32/x = x/50, e x=40.
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