Re: trapezio

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal !

Seja um trapezio de bases "a" e "b" e suponhamos, sem
perda
de generalidade, que a < b. Queremos tracar uma paralela
as
bases de forma que o trapezio fique dividido em dois
outros,
cujas areas ( o de cima para o de baixo ) estao entre si
assim como "p" esta para "q".

Tracando a paralela, suposta de comprimento "x" e, a
seguir,
tracando pelo vertice superior direito do trapezio
original
uma paralela ao lado esquerdo, sejam "H1" e "H2" as
alturas
dos trapezios ( superior e inferior respectivamente
)formados.

Entao :

(Paralelograma superior + triangulo
superior)/(Paralelograma
inferior + trapezio inferior) = p/q

Mas :

Paralegrama superior = H1*a
Paralelograma inferior= H2*a
Triangulo superior = (H1*(x-a))/2
Trapezio Inferior = (((x-a)+(b-a))/2)*H2

Logo :

(H1*a + (H1*(x-a))/2)/(H2*a + (((x-a)+(b-a))/2)*H2) = p/q
(H1/H2)*((a+x)/(b+x)) = p/q
(a+x)/(b+x) = (p/q)*(H2/H1)

Da semelhanca dos trinagulos tiramos que H1/(H1+H2)=
(x-a)/(b-a) ou :
H2/H1 = (b-x)/(x-a). Substituindo acima :

(a+x)/(b+x) = (p/q)*((b-x)/(x-a))
(x^2 - a^2)/(b^2 - x^2) = p/q

Resolvendo esta equacao, achamos :

x = raiz_2( (p*(b^2)  +  q*(a^2))/(p + q) )

Se os trapezios sao equivalentes, entao p=q=1. Logo :

x = raiz_2( (a^2 + b^2)/2 )

Note que, nesta formula, um triangulo pode ser visto como
um
trapezio em que a base menor e igual a zero, isto e : a=0.
Assim, para um triangulo de base "b" ficaria :

x= b*raiz_2( p/(p+q) )

Independente da altura do triangulo !

Agora, sabemos que tracando as diagonais por um vertice de
um poligono regular convexo qualquer de N lados, surgirao
N-2 triangulos. Usando este fato e a formula acima e
possivel generalizar a questao de que maneira ? 

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1050,11092000

On Sat, 09 Sep 2000 17:08:29 GMT
"Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com> wrote:
>Fala, galera!
>    Alguém poderia me dar uma mão com esse problema:
>-Num trapézio de bases 32 e 50, traça-se paralelamente às
>bases um segmento 
>x de forma que esse segmento divide o trapézio em dois
>trapézios menores 
>equivalentes. Quanto mede o segmento x?
>Obrigado
>Abraços
>Marcelo
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