Re: critica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Ralph, muito legais as suas contribuições para a lista.
Estou meio sem tempo para contribuir muito mas como você me citou
várias vezes no seu e-mail acho que tenho uma certa obrigação de comentar
alguns pontos.

On Fri, 21 Apr 2000, Ralph Costa Teixeira wrote:


> 
> 	Oi, Elon, galera.
> 
> 	Eu até sinto que as observações do Elon não foram dirigidas a minha
> mensagem, não sei... mas eu me senti na obrigação de esclarecer as
> outras respostas, e talvez a minha, se for este o caso. Depois eu me
> embalei e acabei escrevendo uma longa mensagem de como um matemático
> vê a construção da matemática. Muito já apareceu até na lista mesmo,
> tudo é a minha modesta opinião, e deve ser desprezado como tal. Para
> de ler aqui se você não gosta dessas ladainhas... ;) Só há um pouco de
> matemática "paulera" aqui na questao (6).	
> 
> 	Como a discussão foi motivada pela mensagem do Elon, eu a reordenei
> para organizar melhor meu raciocínio.
> 
> > Elon Santos Corrêa wrote:
> > a alguns dias enviei um e-mail para a lista intitulado "o dia que
> > nao acaba" e confesso que fiquei impressionado com algumas
> > respostas, estas respondiam como se a pergunta que fiz (1 =
> > 0,999...?) fosse uma ofensa a tudo aquilo que os matematicos sabem,
> > acreditam e aceitam.
> > A essencia da questao foi perdida, prevaleceram os dogmas.
> > Nao estou defendendo aqui, que a resposta para a pergunta que fiz
> > seja sim ou nao, mas com certeza esta nao deveria ser respondida
> > atraves de respostas prontas, mas sim questionada de forma logica e
> > convincente.
> > Duas "coisas" sao iguais porque nao podemos provar que
> > elas sao diferentes (dentro de regras limitadas)?
> 
> 	0) Ralph, todos nós estamos *ávidos* para saber: o que você achou das
> respostas da lista?
> 	A mensagem do Elon não é uma "ofensa", mas é meio "contra" o que os
> matemáticos sabem, acreditam e aceitam. Se você reler as respostas
> pensando que elas foram dadas por gente que está pensando matemática e
> usando matemática, você verá que elas não foram de pessoas ofendidas.
> É só que elas estão usando o método matemático, digamos, tradicional.
> E se alguém disse explicitamente "é isso e acabou", implicitamente
> ele/ela está dizendo "se você usar a matemática que nós conhecemos, é
> isso e acabou". Por favor não as interprete como ofensivas ou
> ofendidas.
> 	Se alguma resposta pareceu "pronta", é porque esta é uma questão bem
> discutida da qual se conhece a resposta (de novo, dentro das regras
> matemáticas). Neste caso (usando as limitadas regras matemáticas
> normais) *pode-se* provar sim que as coisas são iguais; este aspecto
> foi mais discutido num "thread" anterior que o Nicolau já apontou, e
> mais um pouco neste.
> 	Mas eu acho que entendo o que o Elon quer dizer... Ele nunca *disse*
> que 0,999...<1, ele só queria saber o que todo mundo achava. A minha
> mensagem até desviou um pouco da questão matemática em si e tentou
> discutir o porquê da *surpresa* a respeito do 0,999...=1.

Acho que o Ralph leu minha mensagem antiga mas outros membros da lista não.
Segue ela aí abaixo.

Antes de mais nada acho que convem tornar mais clara a natureza do
problema. Os axiomas/definições matemáticas não foram ditados como
epílogo dos dez mandamentos, quem decide se 0,999999... será igual a 1
ou não somos nós. Ou melhor, nem precisamos decidir, podemos perfeitamente
considerar que existem dois tipos de números, e em cada tipo a coisa
funciona de uma forma. Por outro lado não se trata de um problema
puramente de notação: as propriedades dos números dependem desta decisão.

Mas se somos nós quem decidimos se 1 = 0,999999...,
esta decisão nem por isso é gratuitas: algumas decisões são muito mais
interessantes do que outras. Por isso acho que uma apresentação mais
rigorosa (com axiomas) dificilmente deixará quem levanta esta questão
(ou outras similares, como porque (-1)*(-1) = 1) realmente satisfeito.
A pergunta apenas se torna mais profunda: por que estes axiomas e não
outros? Uma resposta bastante autoritária seria: estude *este* sistema,
inventado por gente que sabe muito mais do que você; se algum dia você
chegar a ser um grande matemático só então você será digno de apresentar
sua contra-proposta. Menciono esta resposta apenas para eliminá-la como
pouco satisfatória e nada esclarecedora.

Acho que a melhor resposta talvez seja explorar um pouco o universo
paralelo onde 0.99999999.... < 1, de preferência dialogando. Dado que eu
estou escrevendo isto sozinho, comporei meu diálogo entre o professor
Sócrates e o aluno Platão. Os dois já leram o início deste e-mail...

P: Mas o que eu não entendo, S., é por que 0,999999... seria igual a 1.
   Parece tão mais natural definir 0,9999999... < 1!

S: Mas P., quanto seria a diferença 1 - 0.99999999...?

P: Não sei... vamos descobrir; chamemos a diferença de x.
   E eu digo que x > 0!

S: Mas você deve concordar que x < 1/10 = 0,1.

P: Por que?

S: Por que claramente 0,9 < 0,9999..., e 0,9 + 0,1 = 1,
   donde 0,9999... + 0,1 > 1.

P: Sim, S., é verdade. Devemos ter x < 0,1.

S: E da mesma forma temos x < 0,01, x < 0,001, ...

P: Sim, S., eu já tinha pensado nisso: x é positivo mas infinitamente
   pequeno.

S: Mas qual seria a expansão decimal de x?

P: (depois de pensar um pouco) Talvez x não tenha expansão decimal...
   ou talvez x = 0,000000....1, onde este algarismo 1 aparece em uma
   posição infinitamente afastada...

Bem, o aluno conseguiu manter seu ponto de vista, mas só a um preço
muito alto: ele teve que admitir a existência de infinitesimais,
que talvez não tenham expansão decimal ou cuja expansão decimal teria
não apenas infinitos algarismos, mas também algarismos em posições
infinitamente distantes...

Enfim, o objetivo deve ser mostrar que dizer 1 = 0,999999999...
é de longe a opção mais simples.
   

> 
> > A Matematica nao e' a verdade absoluta, nem o conjunto dos numeros
> > reais pode explicar tudo que ocorre no mundo verdadeiro.
> 	1) Puxa, Ralph, os matemáticos que eu conheço acham que entendem o
> mundo. É por que a Matemática é a verdade?
> 	Na minha opinião, um erro comum a alguns matemáticos e muitos
> não-matemáticos é achar que a matemática é ou tenta ser A VERDADE. A
> VERDADE é, eu acho, assunto da filosofia e da teologia, com as quais
> temos coisas em comum, mas não é o nosso assunto. A confusão aumenta
> porque a gente usa as palavras "afirmações verdadeiras" e "falsas" em
> matemática, de coisas "corretas" e "incorretas"; o que estamos
> realmente falando é de coisas "corretas usando as regras da
> Matemática". Não sabemos se elas são A VERDADE. Arrisco dizer que à
> maioria de nós não nos interessa saber se são A VERDADE. Pessoalmente,
> com um pouco de exagero e um medo terrível de ofender muitas pessoas,
> eu acho um tanto inútil tentar raciocinar o que é a VERDADE -- por
> favor não me mate, eu reconheço que essa é uma limitação *minha* pois
> *meu* raciocínio é muuuuito lógico, racional, dedutivo.
> 	Por outro lado, muitos gostam de acreditar que o MUNDO REAL e A
> VERDADE também obedecem regras e não apresentam contradições; como a
> matemática é um dos poucos sistemas de regras que conhecemos que
> parece não apresentar contradições, é atraente imaginar que deve haver
> uma conexão entre os dois. Mas não creio que alguém tenha 100% de
> certeza que sim ou que não.

A questão aqui é bem mais filosófica do que matemática.
Muitos físicos e matemáticos célebres se declaram surpresos
com quão bem a matemática consegue descrever o mundo.
Eu próprio (e também posso citar nomes ilustres do meu lado)
considero este fato meio tautológico.
Afinal, qualquer coisa que o universo pudesse concebivelmente fazer pode
ser discutida matematicamente; a matemática é ampla o suficiente
para discutir qualquer coisa pois tudo que é discutido matematicamente
é matemática. Não existe "além da matemática", da mesma forma que
não existe "além da física", "além da filosofia", ...
(toda discussão do mundo físico é, por definição, física;
toda discussão filosófica é, por definição, filosofia;...)
O que existe sim é muita coisa que nós não entendemos ainda
e eu pelo menos acho que há muita coisa que homo sapiens algum jamais
entenderá.
> 
> > Sera' que Matematica e' pensar somente por axiomas, postulados,
> > teoremas, etc.? 
> 	2) A Matemática é feita por regras limitadas?
> 	Infelizmente (ou felizmente), a Matemática é sim baseada em axiomas,
> postulados, teoremas, etc. Nem sempre a gente *pensa* por eles, muitas
> vezes a gente usa a intuição para *pensar*, mas enquanto você não
> *prova* suas afirmações por *teoremas*, elas não são consideradas
> corretas NA MATEMÁTICA (são apenas conjecturas, convincentes ou não,
> mas conjecturas). Esta é a base universalmente aceita pelos
> matemáticos. Assim, ninguém deve se surpreender se as respostas da
> lista são baseadas nisso também.
> 	Uma ciência que não é baseada em regras e conclusões tiradas destas
> regras não é matemática. Tal ciência pode ser válida, pode ser
> importante, e pode descrever o mundo melhor, mas não é matemática.
> 	Assim, a matemática é extremamente limitada por suas regras. 

Aqui eu discordo. Muitas áreas da matemática foram muito seriamente
estudadas sem que ninguém na época soubesse axiomatizá-las.
Por exemplo, a definição de limite é do final do século 19
mas acho que ninguém diria que Newton, Euler e Gauss não estavam
fazendo matemática quando estudavam cálculo.
Hoje existem muitas áreas de física matemática que são mal
entendidas (i.e., não axiomatizadas) mas nem por isso
seu estudo não é considerado matemática.
Aliás, eu apostaria que nem 20% dos matemáticos ativos
(pesquisadores com PhDs)
saberia escrever sem consultar um livro um conjunto de axiomas
para a teoria dos conjuntos
(e toda a matemática ortodoxa se baseia nestes axiomas).
Apostaria aliás que pelo menos 20% destes matemáticos
nunca *viu* um tal conjunto de axiomas.

> 
> > E se as regras falharem?
> 	3) As regras podem falhar?
> 	O que a gente realmente considera uma "falha" nas regras seria uma
> contradição, isto é, você conseguir provar coisas opostas usando as
> mesmas regras. Como eu disse, até hoje, as regras tradicionais da
> matemática formam um dos únicos exemplos ricos de conjuntos de regras
> que parecem se auto-sustentar, isto é, até aqui sem contradições. Isso
> é uma coisa muito boa, mas ninguém *sabe* se vai sempre funcionar.

Esta pergunta e resposta eu não entendi.
O único que me ocorre dizer é que Gödel demonstrou
que nenhuma teoria significativamente forte e não contraditória
é capaz de demonstrar sua própria consistência.
Por exemplo, a teoria dos conjuntos demonstra a consistência da aritmática
mas a aritmética não demonstra sua própria consistência,
muito menos a da teoria dos conjuntos
(a menos que a aritmética seja contraditória).

> 
> 	4) Então esta tal de Matemática está *limitada* por regras que ainda
> por cima podem *falhar*... Não dá para pelo menos mudar as regras um
> pouco de vez em quando?
> 	As regras podem ser mudadas sim, e isto se faz também dentro da
> matemática. Por exemplo, é possível mudar ligeiramente os postulados
> da geometria plana e criar outras geometrias. De vez em quando alguém
> descobre que há espaço para simplesmente incluir uma regra nova --
> desde que ela não bata de frente com regras anteriores, está ok. Mas
> será que esta teoria nova é interessante? Pergunta secundária: serve
> para alguma coisa?  Importantissimo: é coerente, sem contradições?
> Afinal, o equilíbrio entre as regras existentes é delicadíssimo --
> mude alguma coisa e há potencial para desastre!
> 	Por exemplo, se você (ou qualquer um dentro da matemática) quiser
> criar um número eps, onde eps é um "infinitesimal", você pode fazê-lo.
> Só que isto bate de frente com os postulados existentes sobre os
> número reais. Assim, crie eps = 1 - 0,999.... e suponha que eps > 0, e
> surgem vários problemas. Por exemplo, eps/3 = 1/3 - 0,3333... > 0.
> Oooops. Para continuar com a nossa teoria do eps, vamos ter que
> desistir de pelo menos uma das seguintes coisas:
> 	i) Pode-se dividir ambos os lados de uma equação por 3
> 	ii) Números são diferentes quando sua diferença é >0.
> 	iii) 1/3 = 0,33333....
> 	iv) 0,9999.../3 = 0,3333....
> 	Puxa, desistir de (i) ou (ii) quebra a aritmética violentamente,
> talvez não seja uma boa idéia... desistir de (iii) ou (iv) é possível,
> mas você basicamente muda o que se entende por dízima periódica. Em
> outras palavras, se você quer que 0,999...<1, você vai ter que mudar o
> que *se entende* por 0,9999... Não quer dizer que você não pode
> fazê-lo, mas há de se abrir mão de outras regras básicas, e nem mesmo
> há garantia de que sua teoria vai se sustentar (podem aparecer
> contradições que você não tem como resolver, e aí a sua teoria não
> serve para nada).
> 	Repito, não que você esteja *proibido* de criar regras alternativas,
> mas o potencial para que elas criem uma teoria completamente inútil é
> tão grande que você teria que gastar muuuuito tempo trabalhando na sua
> nova teoria até que alguém tenha qualquer vontade de olhar para ela.
> Na minha modesta opinião, ninguém deveria se dedicar muito a achar um
> conjunto de regras alternativo que produza uma teoria coerente a menos
> que esta pessoa tenha MUITA experiência e entenda MUITO bem o conjunto
> de regras tradicionais (que parece funcionar bem).

Pelo texto da resposta, acho que regras aqui se referem aos reais.
Muitas outras classes de objetos (diria números, mas temo que alguém
me pergunte o que é um número) são de fato usadas e estudadas.
Uma legal é a dos surreais, sobre a qual faalremos mais adiante.

> 
> 	5) Agora eu fiquei com medo... Se as regras *podem* ser mudadas, como
> saber que regras estão sendo utilizadas?
> 	Para evitar esta confusão toda, de mudar as regras, e então ter de
> revisar tudo, os matemáticos costumam ater-se a axiomas
> pré-estabelecidas, reconhecidamente coerentes; qualquer discussão
> sobre qualquer tema matemático deveria, a princípio, começar
> estabelecendo-se que axiomas e postulados estão sendo utilizados. Mas
> já pensou que coisa sacal se toda discussão matemática começasse
> assim: "Bom, vou supor que os números reais são construídos assim e
> assado, que todo número real é positivo, zero ou negativo, que a
> operação de adição satisfaz isso e aquilo, que a operação de divisão
> faz isso e aquilo, etc etc etc. <901 páginas depois> Bom, é verdade
> que 0,999...=1?"
> 	Como isso é um porre, as pessoas omitem a parte inicial e vão direto
> à questão final, assumindo implicitamente todas as outras regras que
> são as mesmas de sempre. Com estas regras de sempre, se você perguntar
> essa questão, a resposta é de fato simples: 0,999...=1 e ponto final.
> 	Agora, se a sua pergunta é: "Existe um outro conjunto de regras,
> coerente, razoável, que fazem com que haja um número entre 0,999... e
> 1?" você tem que perguntar isso muuuuuuito claramente. Pior: se você
> está vislumbrando mudar as regras do jogo, a gente mal consegue se
> comunicar. Com regras diferentes, eu já não sei o que é 0,9999... nem
> 1, nem "número", nem "entre". Assim, a pergunta fica vaga e difícil de
> responder precisamente. Se alguém jogar esta questão na lista, as
> pessoas vão divagar horrores pois elas não estarão usando as regras
> comuns da matemática -- cada um usará suas próprias regras.
> 	Assim, são essas mesmas regras limitadas e pouco mutáveis que
> permitem que a matemática vá tão longe, que organizam a estrutura da
> matemática, que permite com que matemáticos falem a mesma linguagem.

Este ponto muito básico é crucial:
quando se pergunta se 0,999999999999... é ou não igual a 1
está se engolindo um sapo enorme, de saber o que significa 0,99999999...
Eu sei o que isto significa em R (nos números reais, com as regras usuais)
e lá as duas coisas são iguais.
Se alguém desejar considerar outro contexto 0,9999999999..
talvez queira dizer outra coisa, ou talvez não queira dizer nada.
E eu não sei adivinhar que outro contexto é este,
ou o que 0,9999999999.... significaria lá.

> 
> 	6) Você é meio pedante, mas eu acho que entendi. Agora então eu vou
> perguntar do jeito que você quer, seu chato: "Existe um outro conjunto
> de regras, coerente, razoável, que fazem com que haja números
> infinitesimais ou alguma coisa parecida com números muito
> pequeninhos?"
> 	Tudo isto dito, eu devo dizer algo do qual *provavelmente* eu vou me
> arrepender (o Nicolau vai me matar por isso)... *Existe* uma teoria
> coerente que inclui outros números além dos reais, "números
> infinitesimais". Bom, se ela é totalmente coerente eu não sei, mas
> parece funcionar bem o suficiente para ser considerada uma teoria
> coerente. Nela, existe um número infinitesimal eps que não é zero, e,
> diga-se de passagem , não é nem negativo nem positivo, mas é menor que
> qualquer número real positivo e maior que qualquer número real
> negativo (pense nisso um pouco e você vai sentir um embrulho no
> estômago). ESTA TEORIA NÃO FOI FEITA PARA BOTAR UM NUMERO ENTRE
> 0,999... E 1, o motivo foi bem diferente. Ela apresenta complicações
> grandes (um problema você já viu acima -- com essa teoria, dado um
> número a, você nem pode dizer que a=0, a>0 ou a<0 -- pode ser que
> essas três coisas falhem!). Se alguém realmente quiser ver um pouco
> mais sobre isso, o livro onde eu a vi chama-se "Winning Ways", de
> Elwyn Berlekamp (Nicolau, você sabe isso *muito* melhor do que eu,
> corrija-me se eu estiver errado)?. Não, eu não quero descrevê-la na
> lista (mesmo porque quase não sei nada dela), e duvido que o Nicolau
> queira neste momento. Compre o livro. Dê dinheiro aos pobres
> matemáticos deste mundo. Visite a biblioteca matemática internacional
> local. ;)
> 	De qualquer jeito, acredite: é bem mais fácil digerir que 0,999...=1
> e que não há números infinitesimais do que digerir essa teoria...

Existem pelo menos duas grandes teorias onde existem infinitesimais:
análise não standard e números surreais.
As duas coisas têm a ver mas não são sinônimos, nem um assunto
é subconjunto do outro.

Em análise não standard, lógica é de importância total.
Mais precisamente, certas frases são proibidas em certos
contextos e é importante para a teoria entender o que pode ser dito, quando.
Em ans, não existe um modelo sagrado de números infinitos/infinitesimais.
Ans tem como objetivo mover certas dificuldades da análise clássica:
ao invés do complicado tradicional jogo epsilon x delta,
existem infinitesimais que facilitam sua vida
dando sentido a, por exemplo, dy/dx como literalmente
um quociente de infinitesimais.
Mas tudo tem seu preço e a dificuldade reaparece na lógica...


Números surreais surgiram do estudo de jogos combinatórios infinitos.
A classe dos números surreais é uma só, bem definida.
Lá existem muitos números infinitamente pequenos ou grandes.
Não existem sutilezas lógicas.
Esta teoria é muito bonita mas suas aplicações ainda são poucas.
Leiam um pouco mais sobre o assunto em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00275.html
> 
> 	7) A-ha! Então a teoria tradicional está errada e existem númeos
> infinitesimais! Te peguei!
> 	Bom, nenhuma teoria está certa, e todas estão certas. "Certo" para a
> gente significa -- esta teoria não gera contradições DENTRO DE SI
> MESMA. As duas teorias, da existência ou da não existência dos tais
> números, são mutuamente exclusivas, mas ambas parecem se sustentar.
> 	Mas mesmo nesta teoria, 0,9999...=1. :) :) :)

Isto lembra a piada, contada aqui de forma um pouco mais
politicamente correta trocando o nome de um país real
por um país que não existe.

Seja Tumbolia um país de habitantes estúpidos.

Você sabia que acabou a matemática em Tumbolia?

Não. Por que?

Acharam o valor de x.

Querer decidir qual é *a* teoria certa é tão absurdo
quanto tentar descobrir que o *verdadeiro* valor de x.

[]s, N.