Re: Problema de inteiros

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh impar,
como uma soma de multiplos de 4 e 6?

-----Mensagem original-----
De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06
Assunto: Re: Problema de inteiros


>Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos impõe
>a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por
acaso?
>Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem
>formulada.
>
>Ats,
>Marcos Eike
>
>
>----- Original Message -----
>From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42
>Subject: Problema de inteiros
>
>
>> E ai, pessoal?
>>
>> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka!
e
>> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito
>> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai.
>>
>> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter
>> qualquer número somando múltiplos de x e de y.
>>
>> Solução.
>> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo
>que
>>
>> fx + gy = n  ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n )
>>
>> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:
>>
>> f = (n - gy)/x
>>
>> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um
>> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r.
>> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por
>> partes:
>>
>> Suponhamos que
>>
>> n - g1y =/= n - g2y (mod x)    '=/= incongruente
>> g1y =/= g2y (mod x)  ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2)
>>
>> Como  mdc(x,y)=1 então
>>
>> g1 =/= g2 (mod x)
>>
>> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x).
>> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja,
>que
>> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente:
>>
>> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j
>>
>> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes
>módulo
>> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x,
>> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e
>portanto
>> haverá um g, tal que:
>>
>> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado.
>>
>> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de
>modo
>> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y
>que
>> somados dão n. Nessas condições teremos que ter
>>
>> Solução.
>> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo
>que,
>> para n > N
>>
>> fx + gy = n  (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail)
>>
>> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo
o
>a
>> vale axy - ayx = 0, daí:
>>
>> fx + gy + axy - ayx = n
>> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos
>>
>> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e
>g
>> - ax sejam ambos positivos.
>>
>> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx
>> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e
>g-ax
>> sempre positivos.
>>
>> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta
>que
>> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.
>>
>>
>> Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
>> Valeu...
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