Re: Problema de inteiros

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

sim, amigo José, eu só comentei, pois acredito que este seja um dos pontos
cruciais na solução do problema.


Ats,
Marcos Eike

----- Original Message -----
From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 17:51
Subject: Re: Problema de inteiros


> Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh
impar,
> como uma soma de multiplos de 4 e 6?
>
> -----Mensagem original-----
> De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06
> Assunto: Re: Problema de inteiros
>
>
> >Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos
impõe
> >a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por
> acaso?
> >Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem
> >formulada.
> >
> >Ats,
> >Marcos Eike
> >
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42
> >Subject: Problema de inteiros
> >
> >
> >> E ai, pessoal?
> >>
> >> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última
Eureka!
> e
> >> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito
> >> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai.
> >>
> >> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter
> >> qualquer número somando múltiplos de x e de y.
> >>
> >> Solução.
> >> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de
modo
> >que
> >>
> >> fx + gy = n  ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n )
> >>
> >> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:
> >>
> >> f = (n - gy)/x
> >>
> >> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um
> >> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num
s.c.r.
> >> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos
por
> >> partes:
> >>
> >> Suponhamos que
> >>
> >> n - g1y =/= n - g2y (mod x)    '=/= incongruente
> >> g1y =/= g2y (mod x)  ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2)
> >>
> >> Como  mdc(x,y)=1 então
> >>
> >> g1 =/= g2 (mod x)
> >>
> >> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x).
> >> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja,
> >que
> >> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente:
> >>
> >> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j
> >>
> >> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes
> >módulo
> >> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x,
> >> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e
> >portanto
> >> haverá um g, tal que:
> >>
> >> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado.
> >>
> >> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de
> >modo
> >> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y
> >que
> >> somados dão n. Nessas condições teremos que ter
> >>
> >> Solução.
> >> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo
> >que,
> >> para n > N
> >>
> >> fx + gy = n  (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail)
> >>
> >> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para
todo
> o
> >a
> >> vale axy - ayx = 0, daí:
> >>
> >> fx + gy + axy - ayx = n
> >> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos
> >>
> >> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay
e
> >g
> >> - ax sejam ambos positivos.
> >>
> >> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy +
2ayx
> >> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e
> >g-ax
> >> sempre positivos.
> >>
> >> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta
> >que
> >> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.
> >>
> >>
> >> Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
> >> Valeu...
> >>
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