Re: Problemas, será que dá para opinar?

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> > 3) Encontre todas as funções f, definidas para números reais não negativos.
> >
> > i) f(x * f(y))f(y) = f(x + y), para todo x, y >= 0
> > ii) f(2) = 0
> > iii) f(x) =/ 0 para 0<=x<2
> >
> 3) Tenho quase a certeza de que esse problema ja passou pela lista e foi
> resolvido pelo Ralph.

	Acho que ja passou sim, mas nao acho que fui eu que resolveu nao...
Fui? Eu andei discutindo uns bem parecidos... Vou assumir que (iii)
indica que f eh diferente de zero em [0,2), correto? Usarei a notacao
f(x)!=0 para isto.

*** Cuidando de [2,+INF):
Primeiro note que, tomando y=2 em (i):
	f(0)f(2)=f(x+2) para qualquer x>=0, isto eh, 0=f(z) para qualquer z>=2.
Agora soh falta ver o que acontece em [0,2). A esta altura, junto com
(iii), sabemos que f(x)=0 SE E SOMENTE SE x>=2. (Esta serah a chave do
problema)

*** Tirando 0 da jogada:
Tome x=0 em (i):
	f(0)f(y)=f(y) para qualquer y>=0.
Em particular, tome y tal que f(y)!=0 (y em [0,2) dah certo) e conclua
que f(0)=1.

*** Preparando o argumento final:
Tome y em (0,2);

x=2-y estah em (0,2) tambem. Entao use (i)
	f(xf(y))f(y)=f(2)=0
Como f(y)!=0, entao f(xf(y))=0, isto eh, xf(y)>=2. Isto implica que
	f(y)>=2/(2-y) para qualquer y em (0,2)

Por outro lado, escolha qualquer x tal que 0<x<2-y. Entao (i) diz que
	f(xf(y))f(y) = f(x+y) != 0   (pois x+y < 2)
Assim
	xf(y)<2, isto eh, f(y)<2/x para qualquer x<2-y

Os dois paragrafos acima mostram que f(y)=2/(2-y). Se voce nao esta
convencido disto, escolha um dos seguintes argumentos:

a) (Para quem esta acostumado com limites e convergencia):
	Como f(y)<2/x para qualquer x < 2-y, tome x aproximando 2-y (por baixo)
e entao f(y)<=2/(2-y). Junte isto com f(y)>=2/(2-y) provado acima.

b) (Se voce quiser mais detalhes):
	Suponha, por contradicao, que existe um y tal que f(y) != 2/(2-y).
Escolha x *BEM* perto de 2-y mas menor que 2-y. Para ser exato, quero x
tal que
	xf(y) > 2 mas x+y < 2
Em outras palavras, quero x tal que
	2/f(y) < x < 2-y
e isto eh possivel desde que
	2/f(y) < 2-y, ou seja, f(y) > 2/(2-y).
Agora note que, para este x e este y
	f(xf(y)) = 0 mas f(x+y) != 0
e isto contradiz (i).

*** Verificando o candidato:
Resumindo, a unica funcao que *pode* satisfazer essas condicoes eh
	f(x) = 1,       se x=0
             = 0,       se x>=2
             = 2/(2-x), se 0<x<2
Temos de conferir que ela satisfaz (i), (ii) e (iii). Bom, (ii) e (iii)
sao imediatas. Conferir (i) me parece bem sacal, mas aqui vai:

	* Se y>=2 entao x+y>=2 e f(xf(y))f(y)=0, assim como f(x+y). Ok.

	* Se y=0 entao f(xf(y))f(y)=f(x), assim como f(x+y)=f(x). Ok.

	* Se 0<y<2 entao xf(y)=2x/(2-y) e temos que subdividir em casos
		* Se x=0, entao f(xf(y))f(y) = f(y). Ok.
		* Se 0<x<2-y, entao xf(y)=2x/(2-y)<2 e x+y<2. Entao
			f(xf(y))=2/(2-2x/(2-y))=(2-y)/(2-x-y)
			f(y)=1/(2-y)
			f(x+y)=2/(2-x-y) 
		  Ok!
		* Se x>=2-y entao xf(y)=2x/(2-y)>=2 e x+y>=2. Entao
			f(xf(y))=0 e f(x+y)=0.
		  Ok!

*** Assim, a funcao apresentada eh de fato a unica que serve.

	Abraco,
		Ralph