Problemas, será que dá para opinar?

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Eu resolvi alguns problemas, porém não tenho certeza da minha solução.

1) Determine quantos números naturais menores que 1998 têm um número ímpar
de divisores positivos.

resolução:

Pelo teorema da fatoração canonical deduzimos a fórmula dos números de
divisores positovos.

Sendo ele :

D(n) = (1 + a1)(1+ a2)* ... *(1+an)
Vemos que esta configuração não dá credibilidade que o número de divisores
seja ímpar. Então:

D(n^2) = (1+2a1)(1+2a2)* ... *(1+2an). O que assegura que o número de
divisores seja par, já que produtos de ímpares = ímpar.

Nesta configuração temos: 44 números naturais, menores que 1998, que possuem
números ímpares de divisores.

2) Sejam P1, P2, ..., Pn, n pontos distintos sobre a reta do plano (n >= 2)
Consideram-se circunferências de diâmetro PiPj ( 1<=i<j<=n) e colorimos cada
circunferência com uma cor escolhida entre k cores dadas.
Chamamos (n,k)-nuvem a esta configuração.
Para cada inteiro k, determine todos os n para os quais se verifica que
qualquer n,k)-nuvem  contém duas circunferências tangentes exteriormente da
mesma cor.

resolução: Esse problema nada mais é que uma aplicação de grafos.

Para n >=2, não há o que provar, já que haveria tal configuração se e só se
n >=2, já que os PiPj são os diâmetros das circunferências.
Sabemos que para n pontos numa reta, temos n(n-1)/2 circunferências.
Suponhamos um conjunto de A= {a1,a2, ..., an} sendo esse conjunto com k
elementos.

Então temos: 2(1/k)^n(n-1)/2 probabilidade de que duas circunferências
tenham a mesma cor.
Queremos, embora o número de circunferências tangentes.

Sendo o números de circunferências tangentes = (n-1) + ... + 1 + ... +
(n-1), para n pontos.
temos:

2[(n-1) + ... + 1 + ... + (n-1)] * (1/k)^n(n-1)/2 probabilidade de que duas
circunferências tangentes sejam da mesma cor.

tenho teorema de Ramsey, deduzimos que se n>= 4, há probabilidade de que não
haja circunferências tangentes.

* Pessoal, o problema é que eu não consegui formular o números de
circunferências tangentes.

3) Encontre todas as funções f, definidas para números reais não negativos.

i) f(x * f(y))f(y) = f(x + y), para todo x, y >= 0
ii) f(2) = 0
iii) f(x) =/ 0 para 0<=x<2

Resolução:

Supondo x = 0

f(0)= 0, porém estou me referindo a f(x * f(y)) e não f(x)

Sendo : x * f(y) = h => x = h/f(y)

f(h)f(y) = f(h/f(y) + y) => f(h) = f[(h + f(y)y)/f(y)] * f(y)^-1 =>

f(x) = f[(x + f(y)y)/f(y)] * f(y)^-1

Verifiquemos que para x = 0,

f(0) = 1 { o que o enunciado pronuncia.}

* Pessoal depois daí só foi encheção de linguiça, por isso quero opinição.











"Os grandes cientistas navegam às cegas" Marcos Eike :)

'Imagination is more important than knowledge. Knowledge is limited.
Imagination encircles the world'
Albert Einstein