Re: Problemas, ser� que d� para opinar?

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @ escreveu:
> 
> Eu resolvi alguns problemas, por�m n�o tenho certeza da minha solu��o.
> 
> 1) Determine quantos n�meros naturais menores que 1998 t�m um n�mero �mpar
> de divisores positivos.
> 
> resolu��o:
> 
> Pelo teorema da fatora��o canonical deduzimos a f�rmula dos n�meros de
> divisores positovos.
> 
> Sendo ele :
> 
> D(n) = (1 + a1)(1+ a2)* ... *(1+an)
> Vemos que esta configura��o n�o d� credibilidade que o n�mero de divisores
> seja �mpar. Ent�o:
> 
> D(n^2) = (1+2a1)(1+2a2)* ... *(1+2an). O que assegura que o n�mero de
> divisores seja par, j� que produtos de �mpares = �mpar.
> 
> Nesta configura��o temos: 44 n�meros naturais, menores que 1998, que possuem
> n�meros �mpares de divisores.
> 
> 2) Sejam P1, P2, ..., Pn, n pontos distintos sobre a reta do plano (n >= 2)
> Consideram-se circunfer�ncias de di�metro PiPj ( 1<=i<j<=n) e colorimos cada
> circunfer�ncia com uma cor escolhida entre k cores dadas.
> Chamamos (n,k)-nuvem a esta configura��o.
> Para cada inteiro k, determine todos os n para os quais se verifica que
> qualquer n,k)-nuvem  cont�m duas circunfer�ncias tangentes exteriormente da
> mesma cor.
> 
> resolu��o: Esse problema nada mais � que uma aplica��o de grafos.
> 
> Para n >=2, n�o h� o que provar, j� que haveria tal configura��o se e s� se
> n >=2, j� que os PiPj s�o os di�metros das circunfer�ncias.
> Sabemos que para n pontos numa reta, temos n(n-1)/2 circunfer�ncias.
> Suponhamos um conjunto de A= {a1,a2, ..., an} sendo esse conjunto com k
> elementos.
> 
> Ent�o temos: 2(1/k)^n(n-1)/2 probabilidade de que duas circunfer�ncias
> tenham a mesma cor.
> Queremos, embora o n�mero de circunfer�ncias tangentes.
> 
> Sendo o n�meros de circunfer�ncias tangentes = (n-1) + ... + 1 + ... +
> (n-1), para n pontos.
> temos:
> 
> 2[(n-1) + ... + 1 + ... + (n-1)] * (1/k)^n(n-1)/2 probabilidade de que duas
> circunfer�ncias tangentes sejam da mesma cor.
> 
> tenho teorema de Ramsey, deduzimos que se n>= 4, h� probabilidade de que n�o
> haja circunfer�ncias tangentes.
> 
> * Pessoal, o problema � que eu n�o consegui formular o n�meros de
> circunfer�ncias tangentes.
> 
> 3) Encontre todas as fun��es f, definidas para n�meros reais n�o negativos.
> 
> i) f(x * f(y))f(y) = f(x + y), para todo x, y >= 0
> ii) f(2) = 0
> iii) f(x) =/ 0 para 0<=x<2
> 
> Resolu��o:
> 
> Supondo x = 0
> 
> f(0)= 0, por�m estou me referindo a f(x * f(y)) e n�o f(x)
> 
> Sendo : x * f(y) = h => x = h/f(y)
> 
> f(h)f(y) = f(h/f(y) + y) => f(h) = f[(h + f(y)y)/f(y)] * f(y)^-1 =>
> 
> f(x) = f[(x + f(y)y)/f(y)] * f(y)^-1
> 
> Verifiquemos que para x = 0,
> 
> f(0) = 1 { o que o enunciado pronuncia.}
> 
> * Pessoal depois da� s� foi enche��o de lingui�a, por isso quero opini��o.
> 
> "Os grandes cientistas navegam �s cegas" Marcos Eike :)
> 
> 'Imagination is more important than knowledge. Knowledge is limited.
> Imagination encircles the world'
> Albert Einstein
1) Os inteiros que tem um numero impar de divisores inteiros positivos
sao os quadrados perfeitos. Isso pode ser descoberto por dois processos:
Primeiro: Quando voce toma um numero n, a cada divisor a corresponde um
divisor A tal que avezesA=n. Se a for sempre diferente de A, o numero de
divisores de n sera par pois eles se arrumam em pares. se n for quqdrado
perfeito, a raiz quadrada de n se casa consigo mesma e o numero de
divisores e impar.
Segundo: Se n tem decomposi�ao em fatores primos (p elevado a a). (q
elevado a b). ... o numero de divisores de n e (a+1)(b+1)... Isso e
impar se e so se a, b, sao pares, ou seja, n e quadrado perfeito.
3) Tenho quase a certeza de que esse problema ja passou pela lista e foi
resolvido pelo Ralph.
2) Sugestao: Se voce desconfia qual e o resultado, e facil prova-lo por
indu�ao. Na olimpiada ibero-americana, poucos conseguiram desconfiar
adequadamente.O ponto de separa�ao � n = 2 elevado a k.