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Em primeiro lugar, se voce tirar a
palavra "fechados", a proposicao nao eh mais
verdadeira. Por exemplo, a sequencia de intervalos nao fechados ]0;1/n[
eh de
intervalos encaixados, e nao ha nenhum ponto comum
a todos eles.
Em segundo lugar, nao tenho de cabeca a
demonstracao que voce cita, mas a
demonstracao mais popular usa as sequencias dos
pontos extremos dos intervalos
(esquerdos e direitos), mostra que elas sao
monotonas e limitadas, e portanto
ambas tem limites. A questao eh saber se esses
limites pertencem aos intervalos
(por exemplo, no exemplo acima, o limite comum dos
extremos esquerdos e direitos
eh zero, o qual nao pertence a nenhum dos
intervalos). O uso de "fechado" vem agora
e estah no fato de que um subconjunto dos reais eh fechado se e so se "eh fechado
para limites de sequencias", isto eh, contem
os limites de todas as sequencias convergentes formadas por elementos desses
conjunto (alias, esta eh minha definicao favorita de fechado,
e vale em qualquer espaco metrico).
Jose Paulo
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