Re: Re: s�ries boas e s�ries podres

[Benjamin Hinrichs <hinsoft@xxxxxxxxx>]

Augusto Morgado wrote:
> 
> Caro Benjamin:
> Primeiro, colocando as coisas no contexto hist�rico devido, Leibniz n�o
> tinha computadores nem calculadoras eletr�nicas. Tampouco estava
> particularmente interessado em obter 16 casas para pi. O fato � que ele
> obteve uma express�o "execut�vel" para pi extremamente mais simples do
> que as at� ent�o conhecidas.
> Segundo, a sua frase "Leibniz n�o foi t�o g�nio assim" foi de rara
> infelicidade.Leibniz foi uma das raras intelig�ncias universais:
> pol�tico, matem�tico, inventor do C�lculo, f�sico, diplomata, jurista,
> fil�sofo.
> Terceiro, se eu n�o tivesse nem calculadora nem computador, o processo
> que me permitiria "no bra�o" calcular umas dez ou vinte decimais de pi
> seria exatamente a s�rie de Leibniz. O fato de a converg�ncia ser lenta,
> isto �, de voc� necessitar de muitos termos para obter uma razo�vel
> aproxima��o (� preciso somar cerca de 500 termos para obter, ou pelo
> menos para ter certeza de obter, uma aproxima��o exata a mil�simos)� de
> menor import�ncia. Existem t�cnicas, devidas a Stirling e a Abel, que
> permitem acelerar a converg�ncia, bastando para isso simples
> transforma��es da s�rie.
>    Um abra�o,
> Morgado.

Caro Morgado,
� evidente que Leibniz nunca teve o prazer (ou o desgosto, como
preferir) de usar um computador que pudesse auxili�-lo nos seus
c�lculos. � evidente que Leibniz foi mais do que genial, tanto que �
conhecido at� hoje (o que algu�m pode dizer que n�o � uma raridade,
por�m s� realmente os melhores de cada �poca tem seu nome gravado em uma
enciclop�dia). Realmente meu coment�rio a respeito de Leibniz foi
infeliz e sem sentido.
Leibniz (que portanto n�o tinha nenhum instrumento para facilitar seus
c�lculos) achou a s�rie previamente descrita, mas provavelmente notou
que n�o converge rapidamente e provavelmente pelo mesmo n�o chegou a
us�-la para calcular o famoso valor de pi. Antes de Leibniz descobrir
sua s�rie (em 1673), Newton, de volta em Grantham em 1666 para escapar
da grande peste, facilmente calculou pi at� 16 casas usando 22 termos da
s�rie:
pi = 3*sqrt(3)/4 + 24(1/12 - 1/(5*2^5) - 1/(28*2^7) - 1/(72*2^9 - ...)
[WELLS, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting
Numbers, Revised Edition, Pag. 32]
Este mesmo livro diz tamb�m que Euler, que foi o primeiro a usar e letra
grega Pi, fez uma impressionante demonstra��o das, ent�o, novas
t�cnicas. Calculou Pi at� 10 casa de precis�o em apenas uma hora, acho
que vc deveria tentar esta t�cnica e n�o a s�rie de Leibniz (se � que
n�o foi esta por Euler usada, n�o saberia dizer exatamente como Euler
conseguiu).
Acho que seria interessante para a lista, se fosse poss�vel, os mestres
da lista nos mostrarem algumas das t�cnicas de Stirling e Abel para
acelerar a converg�ncia de uma s�rie. Ao menos eu acharia muito
interessante.

Um grande abra�o a todos,

Benjamin Hinrichs