Re: séries boas e séries podres

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Benjamin Hinrichs escreveu:
> 
> Pessoal,
> há algo em meu coração que não vou guardar só para mim por mais de um
> minuto, vou publicar. A série de Leibniz para calcular Pi 4*(1/1 -1/3
> +1/5 -1/7 ...) é podre. Calculei ela até ... 1/1000001 e a precisão
> (quase absoluta) era de seis casas. Fiquei decepcionado e começo a achar
> que leibniz não foi tão gênio assim. bem, azar. Aí vão mais séries para
> vcs:
> 6/Pi^2=(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 +...)^(-1)
> Pi/6=1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 +...
> (Pi^4)/90=1/1^4 +1/2^4 +1/3^4 +...
> Pi*sqrt(2)/4=1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 +1/9 + 1/11 -...
> (Pi-3)/4=1/2*3*4 -1/4*5*6 +1/6*7*8 -...
> Pi^2/8=1+ 1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +...
> 
> E então, vendo alguns esquemas de programação, achei num livro isto:
> A = X = 1
> B = 1/sqrt(2)
> C = 1/4
> [fazer um loop com este código]
> Y = A
> A = (A + B)/2
> B = sqrt(B*Y)
> C = C - X(A - Y)^2
> X = 2*X
> PRINT (A + B)^2/4*C     '"imprimir" na tela o valor calculado de Pi
> [fim do loop]
> 
> Testei este código e realmente funciona, e muito bem. Depois de quatro
> loops eu não consegui calcular adiante pq o programa é preciso demais e
> o qbasic não suporta mais que 16 casas...
> 
> Bem, gente boa, é isso. Ah, fica como exercício transformar as séries
> acima em somatório. É só alegria, não é nem muito complicado, eu ao
> menos não achei. Bom exercício.
> 
> Feliz ano novo, um abraço,
> 
> Benjamin Hinrichs

Caro Benjamin:
Primeiro, colocando as coisas no contexto histórico devido, Leibniz não
tinha computadores nem calculadoras eletrônicas. Tampouco estava
particularmente interessado em obter 16 casas para pi. O fato é que ele
obteve uma expressão "executável" para pi extremamente mais simples do
que as até então conhecidas.
Segundo, a sua frase "Leibniz não foi tão gênio assim" foi de rara
infelicidade.Leibniz foi uma das raras inteligências universais:
político, matemático, inventor do Cálculo, físico, diplomata, jurista,
filósofo.
Terceiro, se eu não tivesse nem calculadora nem computador, o processo
que me permitiria "no braço" calcular umas dez ou vinte decimais de pi
seria exatamente a série de Leibniz. O fato de a convergência ser lenta,
isto é, de você necessitar de muitos termos para obter uma razoável
aproximação (é preciso somar cerca de 500 termos para obter, ou pelo
menos para ter certeza de obter, uma aproximação exata a milésimos)é de
menor importância. Existem técnicas, devidas a Stirling e a Abel, que
permitem acelerar a convergência, bastando para isso simples
transformações da série.
   Um abraço,
Morgado.