é o chato novamente

[Benjamin Hinrichs <hinsoft@xxxxxxxxx>]

Faz alguns dias (não saberia dizer quantos) que entrei no icq e vi que
estava cheio de gente da lista, abrimos um chat e conversamos um pouco.
Surgiu entretanto um problema no meio: prove que 2^n - (-1)^n  mod 3 =
0, ou seja, que 2^n - (-1)^n é divisível por 3, dado n E N (é natural),
n > 0.
Sugiro que tentem provar e depois ver a minha prova que segue abaixo.

Usei para isto o seguinte teorema (fácil de provar):
a^k -1 = (a^(k-1) + a^(k-2) + ... + a^2 + a^1 + a^0)*(a - 1)

Se n é par então pode ser denominado 2k (nada de 2000, parem de pensar
no bug). Portanto 2^2k -(-1)^2k = 4^k -(1)^k = 4^k - 1 = (4^(k-1) +
4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*(4 - 1) = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... +
4^2 + 4^1 + 4^0)*3 (o que é divisível por 3)
Se n é ímpar então ele pode ser escrito da forma 2k + 1. Portanto
2^(2k+1) -(-1)^(2k+1) = 2*2^2k -(-1)*(-1)^2k = 2*4^k + 1 = 4^k - 1 + 4^k
- 1 + 3 (já que 4^k - 1 já foi provado ser divisível por três, 2(4^k -1)
+ 3 também é)

Deve haver uma prova ridiculamente simples para este problema. Meu pai
disse que o enunciado do problema é muito bom, a prova é fácil. Bem, eu
ao menos demorei algum tempinho para descobrir que 1 = - 1 - 1 + 3...

Grande abraço,

Benjamin Hinrichs