Re: Limite ( correcao )

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Limite
>Date: Fri, 29 Oct 1999 13:52:03 -0200 (BRST)
>
>Gostei da solução proposta mas parece haver um erro...

Ola Prof !

Com certeza ha um erro ! E eu peco desculpas aos colegas da lista. A pressa 
muitas vezes nos faz cometer deslizes mesmo em questoes triviais como esta.

No ciclo, "senx" e "1 - cosx" sao catetos.
raiz2( senx^2 + ( 1 - cosx)^2 ) e a hipotenusa.

Assim, eu deveria ter pensado: "em qualquer triangulo, um lado e sempre 
menor que a soma dos outros dois"

mas apliquei: "em qualquer triangulo, um lado e maior que a soma dos outros 
dois"

por isso, conclui que " raiz2( senx^2 + ( 1 - cosx)^2 )" e maior que senx + 
(1 - cosx). e sendo esta hipotenusa um segmento de reta, pelo postulado de 
Arquimedes e menor que o arco x que a envolve, logo cheguei a conclusao 
errada:

senx + (1 - cosx) < x

O que podemos afirmar e que:

raiz2( (senx)^2 + (1 - cosx)^2 ) < x.

Simplifando esta expressao e usando "cosx + senx < 1" segue um caminho para 
a prova pelo teorema do confronto, nos moldes que indiquei !

Um abraco
Obrigado pela correcao
Perdao ao colegas da lista

Paulo Santa Rita
6,1512,291099


senx + ( 1 - cosx ) < x








>On Fri, 29 Oct 1999, Paulo Santa Rita wrote:
>
> > Ola Prof Marcos,
> > Saudacoes !
> >
> > A questao que o Sr propos pode sair por uma dupla aplicacao do teorema 
>do
> > confronto, um tema que e abordado no 2 grau e que portanto e acessivel a 
>seu
> > aluno. Conforme o Sr deve saber, se, atendidas determinadas condicoes:
> >
> > Teorema do confronto:
> >
> > Atendidas determinadas condicoes:
> > e se:
> > F(x) < G(x) < H(x)
> >
> > e lim F(x) = L e Lim H(x) = L entao Lim G(x) = L
> >
> > Os limites devem ser para a mesma variavel e as funcoes devem atender
> > algumas exigencias.
>
>    (aliás, que condições? que exigências? acho que nenhuma...)
>
> > Seja B= (x - tgx)/(senx - x), sua funcao. Entao:
> > B = (tgx - x)/(x - senx) = tgx/(x - senx)  -  x/(x - senx)
> > B = tgx/(x - senx)  +   x/(senx - x)
> >
> > mas, olhando para o ciclo trigonometrico, sabemos que:
> >
> > senx + cosx < 1 => senx < 1 - cosx  ( desigualdade 1 )
> >
> > senx + ( 1 - cosx ) < x => x - senx > 1 - cosx
>
>... aqui.
>De fato, expandindo em Taylor temos
>
>sen x + ( 1 - cos x ) = x - x^3/3! + ... + x^2/2! - x^4/4! + ...
>que é maior e não menor do que x para 0 < x < epsilon
>pois o termo de grau mais baixo da diferença é + x^2/2!
>que é positivo. Não sei bem como consertar...
>
>[]s, N.
>

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