Descrição:

Consideram-se problemas associados a equações diferenciais, sistemas completamente integráveis, teoria espectral de aspectos geométricos de funções não lineares. As interligações entre os vários tópicos é uma característica da área.

PROJETOS:

a) Geometria Global de Operadores Não Lineares Diferenciais

Descrição:

Estudam-se operadores diferenciais como funções não lineares entre espaços de funções. Um exemplo é que o operador agindo sobre funções periódicas u em u'+ u3 - u, depois de uma troca de variáveis global no domínio e contradomínio torna-se uma cúspide global, (x,y,v) em (x, y3 - xy, v). As técnicas empregadas incluem teoria de singularidades e topologia de dimensão infinita.

EQUIPE: Carlos Tomei e Nicolau Saldanha

b) Propriedades das Soluções das EDPs Elípticas

Descrição:

Estudamos a existência, não-existência e propriedades qualitativas das soluções da EDP elípticas de segunda ordem.

EQUIPE: BoyanSirakov

c) Tópicos de Análise Não Linear e Teoria Espectral

Descrição:

Estudam-se propriedades espectrais de matrizes, com aplicações em análise numérica e sistemas integráveis. Em particular, consideram-se algoritmos para cálculo de autovalores, propriedades espectrais de classes de matrizes e parametrizações paraessas classes, na linha de problemas inversos espectrais

EQUIPE: Nicolau Saldanha e Carlos Tomei

d) Regularidade em Equações Cinéticas

Descrição:

Nós estudamos a propagação e/ou geração de regularidade de Lebesgue e Sobolev nos modelos cinéticos. O exemplo clássico para trabalhar é a equação de Boltzmann. A análise destes modelos é matematicamente difícil devido a natureza global e não-linear dos modelos.

EQUIPE: Ricardo Alonso

e) Estimativas de erro para métodos espectrais

Descrição:

Uma aplicação da teoria de regularidade é a análise das estimativas de erro, estabilidade e convergência para métodos numéricos que solucionam modelos cinéticos. Um exemplo importantes destes são os métodos espectrais. Estes métodos são ultra-eficientes e adaptados às leis de conservação do problema.

EQUIPE: Ricardo Alonso

f) Análise de modelos de população

Descrição:

Os modelos de população são uma aplicação moderna bem sucedida das equações cinéticas. Estudamos estes modelos a partir de vários ângulos: existência e unicidade do problema, teoria de regularidade, e outras propriedades genéricas do modelo útil para aplicações.

EQUIPE: Ricardo Alonso

g) Análise Assintótica Geometrica

Descrição:

Estudam-se diversos problemas nas interligações entre a Análise Funcional e a Geometria Convexa. O objeto principal do nosso estudo são propriedades geométricas (principalmente volumétricas) dos corpos convexos em dimensão muito alta mas finita. Estudamos também aplicações a outras areas como EDP's, Matrizes aleatorias e Teoria da Informação.

EQUIPE: Carlos Hugo Jimenez

h) Redução de ordem de modelos

Descrição:

Os modelos de ordem reduzida (ROMs) desempenham um papel crucial em aplicativos de computação científica em larga escala. A arquitetura dos ROMs é explorada em sistemas físicos e de engenharia baseados em simulação de grande dimensão. Sua estrutura algorítmica busca subespaços de baixa dimensão, tipicamente calculados com a SVD (decomposição de valores singulares), onde a dinâmica de modelos se projeta usando um método de Galerkin. Assim, em vez de resolver um sistema de equações diferenciais de alta dimensão, considera-se um modelo de baixo posto construído de uma maneira baseada em princípios tradicionais.

EQUIPE: Alessandro Alla

i) Controle ótimo

Descrição:

Programação dinâmica torna possível realizar controles de realimentação ótima para muitos problemas de controle ótimo não lineares. Entrentanto, a função a otimizar é calculada através da aproximação numérica da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman, e em geral não é suave, exigindo grande alocação de memória. Procura-se um algoritmo eficiente para contornar o problema.

EQUIPE: Alessandro Alla

2) COMBINATÓRIA

Descrição:

Estudam-se estruturas discretas, com ênfase em teorias de recobrimento por dímeros.

PROJETOS:

a) Combinatória de Dominós

Descrição:

Estudam-se estruturas discretas, com ênfase em teorias de recobrimento por dímeros.

EQUIPE: Nicolau Saldanha e Carlos Tomei

b) Lógica e Combinatória

Descrição:

Certos resultados de combinatória podem ser enunciados finistiticamente (isto é, em aritmética de Peano) mas só podem ser demonstrados usando conjuntos infinitos.

EQUIPE: Nicolau Saldanha

3) COMPUTAÇÃO GRÁFICA

Descrição:

Com o uso da computação em quase todas as disciplinas acadêmicas e industriais,emergem vários desafios matemáticos para representar, manipular e otimizar dados geométricos e multi-dimensionais no computador.

PROJETOS:

a) Visualização em dimensões superiores

Descrição:

Estudas algoritmos para rendering de superfícies implícitas em R4. Nesse projeto combinamos métodos de aproximação para superfícies baseados em pontos com modelos de iluminação 4D. Aplicamos aritmética intervalar para garantir a robustez topológica.

EQUIPE: Sinésio Pesco

b) Amostragem e Render não-foto realista

Descrição:

Nesse projeto buscamos novas técnicas para geração hierárquica de uma amostragem por discos de Poisson sobre uma superfície linear por partes com aplicações em rendering não-foto realístico, mais especificamente, a geração de efeitos de pontilhamento sobre superfícies.

EQUIPE: Sinésio Pesco

4) FÍSICA MATEMÁTICA

Descrição:

A Física Matemática ocupa o espaço entre a Física Teorica e a Matemática Pura. Fundamenta matematicamente teorias físicas, construindo modelos com o padrão de rigor exigido de qualquer área matemática, e cria novas estruturas matemáticas.

PROJETOS:

a) Fundamentos da Física

Descrição:

Explorar os aspectos matemáticos e filosóficos de teorias físicas, especialmente a mecânica quântica, e a relatividade geral tanto na sua formulação clássica quanto quântica.

EQUIPE: Carlos Tomei

5) GEOMETRIA DIFERENCIAL

Descrição:

Estudam-se variedades dotadas de diversas estruturas diferenciais. Empregam-se métodos geométricos, analíticos e topológicos.

PROJETOS:

a) Dinâmica Lagrangeana, geometria global e topologia das variedades

Descrição:

Projeto de pesquisa que estuda relações entre dinâmicalagrangeana, cálculo variacional, geometria global e topologia das variedades. Combina teoria de Aubry-Mather, geometria simplética, sistemas dinâmicos, geometria Riemanniana e Finsler, teoria das folheações, topologia diferencial e teoria decontrole.

EQUIPE: Rafael Ruggiero

b) Folheações cujas folhas têm geometrias de Thurston

Descrição:

Thurston definiu o conceito de 'geometria modelo´ em variedades de dimensão e 3 e mostrou que existem exatamente oito. Estudam-se folheações de variedades de dimensão 4 tais que todas as folhas tem uma geometria modelo.

EQUIPE: Paul Schweitzer

c) Geometria afim

Descrição:

O projeto de pesquisa Geometria Afim trata de conceitos geométricos invariantes por transformações afins do espaço n-dimensional. Inclui temas de Geometria Diferencial Afim e também temas de Geometria Discreta.

EQUIPE: Marcos Craizer

d) Superfícies Minimas e de Curvatura Média Constante

Descrição:

Este projeto visa estudar as superfícies mínimas e de curvatura média constante em variedades homogêneas tridimensionais, notadamente o espaço produto H^2 x R. Por exemplo, investigar os exemplos de superfícies mínimas e de curvatura média constante e estudar os seguintes fenômenos geométricos e suas aplicações (para citar apenas alguns): Princípio do máximo (princípio do semi-espaço), simetria e unicidade oriundas do bordo e do bordo assimptótico, estrutura geométrica dos fins, estabilidade, curvatura total finita. Pretende também estudar as equações mínima e de curvatura média constante e outras afins em vários espaços ambientes , investigando, por exemplo, existência de soluções, as aplicações do princípio do máximo, as estimativas a priori do gradiente e da altura, as aplicações das estimativas de curvatura, os problemas de Dirichlet e os problemas de Plateau , para citar alguns pontos chaves. Finalmente, pretende-se investigar certas direções de pesquisa evolvidas da teoria das hipersuperfícies mínimas ou de curvatura média constante, que são focadas na teoria de hipersuperfícies com alguma função simétrica de curvatura constante, imersas em certas variedades Riemannianas. Um resumo de resultados de pesquisa no período 2009-2012 se encontra no site http://www.mat.puc-rio.br/~earp/Resumo.html ou/Summary.html (versão em inglês)..

EQUIPE: Ricardo Sá Earp

e) A Geometria simplética e ações de grupos

Descrição:

Estudamos a geometria de variedades diferenciáveis com uma estrutura simplética. Em particular usamos ações de grupos para descrever as suas simetrias e construir variedades quocientes com uma estrutura simplética induzida.

EQUIPE: Alessia Mandini

f) Geometria Diferencial e Grupos de Lie

Descrição:

Estudamos Geometria Diferencial ligada aos Grupos de Lie, com ênfase no estudo das órbitas da ação coadjunta. Do ponto de vista geometrico, estamos interessados na geometria simplética global das órbitas coadjuntas não compactas. Do ponto de vista topológico, estudamos a homotopia do grupo de difeomorfismos das órbitas coadjuntas compactas.

EQUIPE: David Martínez Torres

6) PROBABILIDADE E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

Descrição:

A teoria dos Processos Estocásticos estuda a evolução (temporal ou especial) de sistemas com comportamento aleatório. Suas técnicas permitem extrair o comportamento coletivo de sistemas constituídos de um grande número de componentes.

PROJETOS:

a) Métodos Estocásticos em Finanças e Atuária

Descrição:

Estudo de modelos probabilísticos em finanças e atuária (ramo não-vida), particularmente o problema da ruína e suas extensões.

EQUIPE: Carlos Tomei e Nicolau Saldanha

7) SISTEMAS DINÂMICOS

Descrição:

Esta linha estuda o comportamento assintótico das órbitas de endomorfismos e fluxos, com ênfase nas propriedades intrínsecas. Estamos interessados em problemas de estabilidade e nas formas em que esta característica desaparece.

PROJETOS:

a) Bifurcações e Ciclos

Descrição:

Estudo das dinâmicas associadas ao desdobramento de ciclos (tangenciashomoclinicas, ciclos sela-nó, ciclos heterodimensional).

EQUIPE: Lorenzo Díaz

b) Fluxos Geodésicos em Variedades sem pontos Conjugados

Descrição:

Consideramos três tipos de problema nesta linha de pesquisa:

i. Propriedades geométricas e topológicas das variedades sem pontos conjugados admitindo fluxos geodésicos expansivos

ii) Conexões entre a expansividade do fluxo geodésico e a ausência de pontos conjugados na variedade.

iii) Problemas ergódicos de fluxos geodésicos expansivos e a conjetura da entropia métrica nula. iv) Problemas de cohomologia e subcohomologia de fluxos geodésicos expansivos não Anosov.

EQUIPE: Rafael Ruggiero

c) Fluxos Lagrangianos

Descrição:

Consideramos os chamados teoremas de Birkhoff para toros Lagrangianos invariantes por fluxos de Euler-Lagrange definidos no espaço tangente de variedades compactas. Existe uma vasta literatura sobre Lagrangianos no toro devida.

EQUIPE: Rafael Ruggiero

d) Transitividade Robusta e Hiperbolicidade Fraca

Descrição:

Relação entre transitividade e formas fracas de hiperbolicidade.

EQUIPE: Lorenzo Díaz

8) TOPOLOGIA

Descrição:

Nessa linha estudamos problemas de caráter topológico em teoria de folheações, ações de grupos, e geometria.

PROJETOS:

a) A Topologia do Espaço das Curvas Localmente Convexas na Esfera S^2

Descrição:

Uma curva parametrizada na esfera de dimensão n é localmente convexa se em todo ponto as derivadas de ordem 1 a n são linearmente independentes. O conjunto das curvas localmente convexas com condições de fronteira dadas (isto é, posição e derivadas de ordem até n dadas nos dois extremos)tem uma topologia rica, que depende de forma não trivial das condições de fronteira.

EQUIPE: Nicolau Saldanha

b) Conjuntos Algébricos Invariantes de Folheações

Descrição:

Estudam-se campos vetoriais (com coeficientes em um fibrado em retas) sobre espaços projetivos e cotas para o grau de hipersuperfícies que definem curvas invariantes por tais campos, como também de hipersuperfícies invariantes por campos de Pfaff (sobre espaços projetivos).

EQUIPE: Paul Schweitzer

c) Enlaçamento Assintótico de Ações de Rk

Descrição:

Estudamos invariantes de enlaçamento assintótico de R^k e R^s que preservam o volume numa variedade de dimensão k+s+1, ou de uma ação com uma folheação generalizando trabalho de V. Arnold e Khesin.

EQUIPE: Paul Schweitzer

d) Estabilidade de Ações Compactas

Descrição:

Uma ação compacta é uma ação localmente livre cujas órbitas são todas compactas. Estudamos sob que condições podemos garantir que perturbações de uma ação compacta ainda são compactas.

EQUIPE:Nicolau Saldanha