Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de Recíprocos (IMO 2004)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

 > Oi Domingos,

Olá, Artur!

 > Estah me parecendo que a prova que vc deu tem um detalhe: vc extendeu 
para o
 > caso geral uma condicao que soh eh valida para n=2. O que vc concluiu 
para
 > n=2, acho que naoum pode ser diretamente aplicado para um n>2 generico.

Funciona sim, ela só é um pouco diferente do que se costuma fazer pra 
encontrar mínimos de uma função contínua.

Olhe como a idéia é simples:
- o lema vale para n = 2
- para um n > 2 qualquer, assuma que a solução ótima (minimização) se dá 
num vetor x = (x_1, x_2, ..., x_n) e que existe x_i != x_j.

a restrição é que x_1 + ... + x_n = C, então, se M = (x_i + x_j)/2, o 
vetor (x_1, ..., x_{i-1}, M, x_{i+1}, ..., x_{j-1}, M, x_{j+1}, ..., 
x_n) aplicado a função tem um valor estritamente menor que o valor em x, 
e satisfaz a restrição, o que é absurdo, logo não pode haver i, j com 
x_i != x_j na solução ótima.

 > Vou sugerir um outro processo. Vc demonstrou o lema para n=2. 
Admitamos, de
(...)

isso funciona.

 > Quando jah estudamos um pouquinho de funcao de diversas variaveis, 
podemos
 > chegar aa conclusao geral muito mais rapidamente pelos multiplicadores de
 > Lagrange. Consideremos a funcao g, de x_1.....x_n e L, sendo L o mult. de
 > Lagrange, dada por g(x_1,....x_n, L) = 1/x_1 ...+ 1/x_n - 
L(x_1...+x_n - C).
 > Diferenciando-se parcialmente com relacao a cada uma das variaveis x_i e
 > igualando a zero, obtemos dg/dx_i = (-1/x_i)^2 - L =0 => x_i = 1/raiz(L),
 > para L>0. Difereinado-se com relacao a L e igualando-se a zero, obtemos
 > simplesmente x_1 +..x_n = C. Com algumas manipulacoes simples, chegamos
 > entao a que x_1....= x_n = C/n.
 > No caso geral, a prova de que este eh um minimo globa eh um pouco mais
 > complicada que no caso n=2, mas neste caso eh simples.
 > Artur

é, dá pra usar Lagrange, teria que fazer alguma manipulação pra mostrar 
que o mínimo local é de fato global, mas achei a demonstração que eu dei 
mais interessante.

agora, você pode tentar resolver a minha proposição:
mostre que o desvio padrão (ou a variância) de {x_1, ..., x_n} é 
"pequeno" quando (x_1 + ... + x_n)(1/x_1 + ... + 1/x_n) <= n^2 +1.

acho que a idéia é usar Lagrange, agora você tem duas restrições:
i) x_1 + ... + x_n = M*n
ii) (x_1-M)^2 + (x_2-M)^2 + ... + (x_n-M)^2 = VAR*n

Dessa forma, fixando a variância podemos ver qual o menor valor do lado 
esquerdo da desigualdade, evidentemente esse menor valor deve ser no 
máximo n^2 + 1.

[ ]'s
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================