Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de Recíprocos_(IMO_2004)

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

.... 
> Olhe como a idéia é simples:
> - o lema vale para n = 2
Perfeito.

> - para um n > 2 qualquer, assuma que a solução ótima
> (minimização) se dá 
> num vetor x = (x_1, x_2, ..., x_n) e que existe x_i
> != x_j.
> 
> a restrição é que x_1 + ... + x_n = C, então, se M =
> (x_i + x_j)/2, o 
> vetor (x_1, ..., x_{i-1}, M, x_{i+1}, ..., x_{j-1},
> M, x_{j+1}, ..., 
> x_n) tem um valor estritamente menor que o valor em
> x, o que é absurdo, 
> logo não pode haver i, j com x_i != x_j na solução
> ótima.

O novo vetor sem duvida satisfaz aa restricao.
Se aplicarmos a ele a funcao f (soma dos reciprocos),
otemos 1/x_1...+ ..1/x_{i-1} +1/x_{i+1} +..,
1/x_(j-1)+ 1/x_(j+1) + 2/M. Como x_i + x_j = 2M e xi
!= x_j, o Lema mostra que 1/x_i + 1/x_j > 1/M + 1/M =
2/M. Logo, o vetor modificado leva de fato a um valor
de f inferior ao do original, o que eh contradicao.
Agora estah claro! A prova estah perfeita e eh de fato
muito simples e engenhosa!! Parabens!! 

Vou pensar na proposicao.
Abracos
Artur
> 
> agora, você pode tentar resolver a minha proposição:
> mostre que o desvio padrão (ou a variância) de {x_1,
> ..., x_n} é 
> "pequeno" quando (x_1 + ... + x_n)(1/x_1 + ... +
> 1/x_n) <= n^2 +1.
> 
> acho que a idéia é usar Lagrange, agora você tem
> duas restrições:
> i) x_1 + ... + x_n = M*n
> ii) (x_1-M)^2 + (x_2-M)^2 + ... + (x_n-M)^2 = VAR*n
> 
> Dessa forma, fixando a variância podemos ver qual o
> menor valor do lado 
> esquerdo da desigualdade, evidentemente esse menor
> valor deve ser no 
> máximo n^2 + 1.
> 
> [ ]'s
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=========================================================================
> 



		
__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Mail is new and improved - Check it out!
http://promotions.yahoo.com/new_mail
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================