[obm-l] Re: [obm-l] Soma de Recíprocos (IMO 2004)

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Domingos,

Estah me parecendo que a prova que vc deu tem um detalhe: vc extendeu para o
caso geral uma condicao que soh eh valida para n=2. O que vc concluiu para
n=2, acho que naoum pode ser diretamente aplicado para um n>2 generico.

Vou sugerir um outro processo. Vc demonstrou o lema para n=2. Admitamos, de
forma indutiva, que para algum n>=2, o lema seja valido. Seja K = x_1...+
x_n, K<=C. Por hipotese, se forcarmos esta igualdade para um valor de K, a
soma 1/x_1.....+ 1/x_n sera minima quando tivermos x_1 =.....x_n = K/n.
Logo, teremos, 1/x_1.....+ 1/x_n = n^2/K. Baseados no fato de que a funcao
que queremos minimizar eh separavel (isto eh, eh a soma de n funcoes de uma
unica variavel), temos o problema de determinar K e x_n+1 de modo que K +
x_n+1 = C e n^2/K + 1/x_n+1 seja minimo.
Fazendo de modo similar ao que vc fez, isto eh, pondo K em funcao de x,
derivando e igualando a zero, chegamos a x_n+1 = C/(n+1). (Omito os detalhes
algebricos, pois sao muito simples e se resumem a manipulacao de equacoes.)
Temos entao que K = C - C/(n+1) = n*C/(n+1), e concluimos que x_i = C/(n+1)
tambem para cada i=1,2....n. Isto completa o processo indutivo e estende a
conclusao para o caso geral. 

Quando jah estudamos um pouquinho de funcao de diversas variaveis, podemos
chegar aa conclusao geral muito mais rapidamente pelos multiplicadores de
Lagrange. Consideremos a funcao g, de x_1.....x_n e L, sendo L o mult. de
Lagrange, dada por g(x_1,....x_n, L) = 1/x_1 ...+ 1/x_n - L(x_1...+x_n - C).
Diferenciando-se parcialmente com relacao a cada uma das variaveis x_i e
igualando a zero, obtemos dg/dx_i = (-1/x_i)^2 - L =0 => x_i = 1/raiz(L),
para L>0. Difereinado-se com relacao a L e igualando-se a zero, obtemos
simplesmente x_1 +..x_n = C. Com algumas manipulacoes simples, chegamos
entao a que x_1....= x_n = C/n.
No caso geral, a prova de que este eh um minimo globa eh um pouco mais
complicada que no caso n=2, mas neste caso eh simples.
Artur

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