[obm-l] [obm-l] Máximos e Mínimos

[João Vitor <jvgp@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Amigos da Lista,

Estou com algumas questões de Máximos e Mínimos q não estou conseguindo
resolver...
O único método q tentei utilizar foi o fato:
Média Aritmética >= Média Geométrica

Mais eu gostaria mesmo q vocês utilizassem o método acima para a resolução
ou Além desse método, utilizem cálculo:

1) Achar a dois números positivos cuja a soma é 16 e cujo o produto é o
máximo possível.

2) Se 3x + 4y = 100, qual é o valor mínimo de Sqrt (x^2 + ^y^2).

[]´s

João Vitor Goes P.
Fortaleza- CE





----- Original Message -----
From: "Daniel Regufe" <danielregufe@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, July 06, 2004 12:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Ajuda


> Derivando no inicio acha-se o x, porem pra achar a f(x) deveremos jogar na
> função, ficando um tanto chato neh .
> Eu acho melhor simplificar essa função antes pra achar logo o f(x) minimo.
> Ficando:
> f(x) = 50x² - 2x - 4x - 6x ... - 100x + 1² + 2² + 3² + ... + 50²
> tendo uma P.A simples acompanhando x e uma P.A de segunda ordem como termo
> idependente.
> Resultando em :
> f(x) = 50x² - 2550x + 42925
> Porem o minimo nao bate com nenhuma de suas respostas...
>
> Abraços
>
> Daniel Regufe
>
>
> >From: Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@lps.ufrj.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] Ajuda
> >Date: Tue, 6 Jul 2004 11:54:48 -0300 (BRT)
> >
> >Bom, se você souber derivadas, basta derivar f(x) com relação a x,
> >e igualar a zero, obtendo
> >0 = f'(x) = 2( (x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + (x-50) )
> >o que reduz-se a soma de P.A:
> >0 = 50x - (1+2+3+...+50)= 50x - 50*51/2)
> >ou seja, x = 25.5.
> >
> >Como é esperado que x seja inteiro, pelas suas respostas, e como a função
> >f(x) é uma função do segundo grau mascarada, teremos que ela é simétrica
em
> >relação ao seu mínimo, ou seja f(26) = f(25), que são os pontos mais
> >próximos do mínimo que há nos inteiros.
> >
> >Outro modo de pensar esta questão é tentar provar uma desigualdade do
tipo
> >(x - a)^2 + (y + a)^2 > x^2 + y^2, que vale sempre, e aplicar aos casos
em
> >que temos troca de sinais, lembrando que quadrados sao sempre positivos.
> >Por exemplo, suponha que você acha que o mínimo está em zero.
> >Mas aí, vc pode usar x = 1 e notar que os termos quadrados foram
deslocados
> >e que você trocou um termo grande (-50)^2 por um pequeno (0)^2
> >Pensando assim, quanto mais simétrica for a expressão, melhor, e daí você
> >escolhe 25 ou 26, que geram respostas simétricas perto do centro, que é o
> >minimizante.
> >
> >Essa idéia veio de tentar resolver um problema mais simples; tente ver o
> >mínimo quando vc tem só cinco termos:
> >Com x = 0, temos
> >1+4+9+16+25
> >Com x = 1,
> >0+1+4+9+16 (que é menor que f(0))
> >Com x = 2,
> >1+0+1+4+9
> >Com x = 3
> >4+1+0+1+4
> >Com x = 4, temos
> >9+4+1+0+1, que é o mesmo que f(2) com a ordem trocada!
> >
> >Aí, você usa a desigualdade para provar que f(3) < f(2) e pronto.
> >
> >Para fazer o caso com 50, é mais difícil, mesmo pq f(25)=f(26).
> >Mas aí vc vai provando em cascata que f(1)>f(2)>f(3)>...>f(25) e pronto.
> >
> >Até mais,
> >Bernardo Costa
> >
> >On Tue, 6 Jul 2004 SiarJoes@aol.com wrote:
> >
> >>Determinar o valor de f(x) de forma que a função:
> >>f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)²
> >>
> >>tenha valor mínimo.
> >>
> >>a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65
> >>
> >>
> >>essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando...
> >>
> >>
> >>Grato
> >>Junior
> >>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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