----- Original Message -----
Sent: Sunday, July 18, 1999 12:39
PM
Subject: Re: O time carioca é
perna de pau
Caros amigos,
Existe algum "problema" na pergunta abaixo feita pelo Benjamin
Hinrichs:
Na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0. prove então que
as duas raízes são
racionais.
"Acredito ter faltado falar que, a,b e c
são racionais e a não nulo."
Esta questão já foi alvo de
um grande vestibular de São Paulo, em 1967
para ingresso a Escola Politécnica
de São Paulo, da Universidade de São
Paulo.
Considerando o enunciado da pergunta acima
como: Prove que:
Se a,b e c são números racionais
tais que a + b + c =0 e a não nulo,então
a equação a x2
+ b x + c = 0,
admite duas raízes racionais.
Uma demonstração possível
Sendo a + b + c = 0, tem -se evidentemente que
1 é raiz da equação dada.
Por outro lado, sendo r a outra
raiz da equação, tem-se do produto
das
raízes de uma equação do
segundo grau que, r . 1 = c / a, ou seja r =
c / a.
Portanto, como a e c são racionais
(do enunciado) conclue-se que as raízes
1 e c / a, da equação do
segundo grau a x2 + b x + c = 0, ,
são números
racionais.
Outra demonstração possível
De a + b + c = 0, tem-se b = - a - c .
Assim, a equação a x^2 + b.x
+ c = 0, pode ser reescrita como :
ax2- ax - c x + c = 0. Dai, tem
- se ax( x - 1 ) - c ( x - 1 ) = 0,
ou melhor ainda, (x - 1
).( a x - c ) = 0. Portanto, como
do
do enunciado a (não nulo) e c
são números racionais, segue-se
desta última equação,
e de sua equivalência com a equação dada,
que,as raízes da equação
: a x2 + b x
+ c = 0,
são os números racionais, 1
e c / a.
Mudando um pouco de assunto, em alguns emails
atraz apareceu
o problema, encontrar as raízes reais
da equação:
x.[x .[x . [x ] ] ] = 88
Foi dito, que a origem deste problema é
a olimpiada do Cone
Sul, o que não é verdade, pois
não encontrei ele em nenhuma das
provas da Cone Sul.
Eu encontrei apenas a raiz 22 / 7
( curiosidade, este é um valor aproximado
para o número pi,
e muito usado, em construções
geométricas). Caso tenham
interesse em ver a solução eu
passo em attach para vocês e só pedirem.
Mas, eu gostaria que alguém pudesse
dizer-me a origem correta deste problema.
Um a braço a todos
PONCE
Benjamin Hinrichs wrote:
Lucas wrote:
>
> Caro Eduardo Wagner,
>
> como vc explica que, na lista de premiados da Obm, nunca tem ninguém
do RS?
> Será que a gente é mais burro que vcs do Rio ou dos
caras de Fortaleza e São
> Paulo? Não sei, acho que os outros estados têm uma preparação
adequada e a
> gente não tem... qual é a sua opinião? (alguém
já falou sobre isso, achei
> interessante...)
>
> E, resumindo aqueles longos e-mails sobre como deve ser a segunda
fase desta
> Obm: o ideal é que os 5 problemas dêem chance para o
pessoal de cursos
> menores, ou seja: os problemas devem selecionar os que raciocinarem
mais
> efetivamente, e não aqueles que tem mais conhecimentos por
serem mais velhos
> e estarem em cursos maiores... e não pensem que eu digo isso
por ser do
> primeiro ano. Quando eu estiver no terceiro, repetirei o que digo,
pois acho
> que o principal objetivo da Obm deve ser bem considerado e que as
provas não
> podem frustrar nem acabar com a chance dos mais novos...
>
> "Atenciosamente" (desta vez, bem atenciosamente),
>
> Lucas
Falô e disse,
concordo com o meu amigo gaúcho. Na final da regional ano passado
comentei de forma curta e grossa que a primeira e terceira questão
exigiam conhecimento de Pitágoras de Samos e Bhaskara Acharya.
A
terceira questão era:
na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0. prove então que
as duas raízes são
racionais. É muito barbada, façam todos. Não tenham
medo.
Tive dois colegas da sétima que passaram para a final e que
ficaram
indignados com as questões propostas e deixaram sua raiva em
cima de mim
no caminho de volta, tive que agüentar seus papos... Argh!
Abraço,
Benjamin Hinrichs