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Re: O time carioca é perna de pau



Caro Eduardo,
Concordo com a sua solução, mas com a ressalva "de os coeficientes serem racionais". que eu fiz ao enunciado.
Com respeito as provas do Cone Sul , você encontrá-las no site
www.oma.org.ar
Um abraço
PONCE

Eduardo Casagrande Stabel wrote:

Caro Luiz Ponce,Para a questao das raizes racionais. Tenho outra resolucao. como a+b+c=0, entao b= -(a+c). E substituindo-se na formula de Bhaskara (que nem foi bhaskara que descobriu), o delta precisa ter raiz quadrada racional. Ou seja:b^2 - 4ac = (a+c)^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2, entao teremos logicamente raizes racionais.Bem, voce fala que nao encontrou aquela questao x[x[x[x]]] = 81 em nenhuma prova do Conesul, voce poderia me dizer como eu consigo as provas do Conesul? duda
----- Original Message -----
Sent: Sunday, July 18, 1999 12:39 PM
Subject: Re: O time carioca é perna de pau
 Caros amigos,
Existe algum "problema" na pergunta abaixo feita pelo Benjamin Hinrichs:
Na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0. prove então que as duas raízes são
racionais.

"Acredito ter faltado falar que, a,b e c são racionais e a não nulo."
Esta questão já foi alvo de um grande vestibular de São Paulo, em 1967
para ingresso a Escola Politécnica de São Paulo, da Universidade de São
Paulo.

Considerando o enunciado da pergunta acima como: Prove que:
Se a,b e c são números racionais tais que a + b + c =0 e a não nulo,então
a equação  a x2 + b x + c = 0,  admite duas raízes racionais.

Uma demonstração possível
Sendo a + b + c = 0, tem -se evidentemente que 1 é raiz da equação dada.
Por outro lado, sendo  r a outra raiz da equação, tem-se do produto     das
raízes de uma equação do segundo grau que,  r . 1 =  c / a, ou seja r = c / a.
Portanto, como a  e c são racionais (do enunciado) conclue-se que as raízes
1 e  c / a, da equação do segundo grau a x2 + b x + c = 0, , são números
racionais.
Outra demonstração possível
De a + b + c = 0, tem-se  b =  - a - c .
Assim, a equação a x^2 + b.x + c = 0, pode ser reescrita como :
ax2- ax - c x + c = 0. Dai, tem - se     ax( x - 1 ) - c ( x - 1 ) = 0,
ou melhor ainda,    (x - 1 ).( a x - c ) = 0.  Portanto,    como    do
do enunciado  a (não nulo) e c são números racionais,    segue-se
desta última equação, e de sua equivalência com a equação dada,
que,as raízes  da equação :         a x2 + b x + c = 0,
são os números racionais, 1  e  c / a.
 

Mudando um pouco de assunto, em alguns emails atraz apareceu
o problema, encontrar as raízes reais da equação:
          x.[x .[x . [x ] ] ] = 88
Foi dito, que a origem deste problema é a olimpiada do Cone
Sul, o que não é verdade, pois não encontrei ele em nenhuma das
provas da Cone Sul.      Eu encontrei apenas a raiz     22 / 7
( curiosidade, este é um valor aproximado para o número  pi,
e muito usado, em construções geométricas). Caso tenham
interesse em ver a solução eu passo em attach para vocês e só pedirem.
Mas, eu gostaria que alguém  pudesse dizer-me a origem correta deste problema.

Um a braço a todos
PONCE
Benjamin Hinrichs wrote:

Lucas wrote:
>
> Caro Eduardo Wagner,
>
> como vc explica que, na lista de premiados da Obm, nunca tem ninguém do RS?
> Será que a gente é mais burro que vcs do Rio ou dos caras de Fortaleza e São
> Paulo? Não sei, acho que os outros estados têm uma preparação adequada e a
> gente não tem... qual é a sua opinião? (alguém já falou sobre isso, achei
> interessante...)
>
> E, resumindo aqueles longos e-mails sobre como deve ser a segunda fase desta
> Obm: o ideal é que os 5 problemas dêem chance para o pessoal de cursos
> menores, ou seja: os problemas devem selecionar os que raciocinarem mais
> efetivamente, e não aqueles que tem mais conhecimentos por serem mais velhos
> e estarem em cursos maiores... e não pensem que eu digo isso por ser do
> primeiro ano. Quando eu estiver no terceiro, repetirei o que digo, pois acho
> que o principal objetivo da Obm deve ser bem considerado e que as provas não
> podem frustrar nem acabar com a chance dos mais novos...
>
> "Atenciosamente" (desta vez, bem atenciosamente),
>
> Lucas

Falô e disse,
concordo com o meu amigo gaúcho. Na final da regional ano passado
comentei de forma curta e grossa que a primeira e terceira questão
exigiam conhecimento de Pitágoras de Samos e Bhaskara Acharya. A
terceira questão era:
na equação ax^2+bx+c=0, a+b+c=0. prove então que as duas raízes são
racionais. É muito barbada, façam todos. Não tenham medo.
Tive dois colegas da sétima que passaram para a final e que ficaram
indignados com as questões propostas e deixaram sua raiva em cima de mim
no caminho de volta, tive que agüentar seus papos... Argh!

Abraço,

Benjamin Hinrichs