Re: prove se v ou f

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 26 May 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Ol�, como v�o? Eu vou muito bem... :-)
> Chega de papo furado.
> Perguntara eu a uns dias (ou foi ontem? n�o estou bem certo, mas acho que
> foi ontem) se � verdade que x^x!>=x!^x.
> Bom, demonstrei isto, sabendo que x! cresce bem mais rapido que n^x (algo
> parecido).
> Elevando um n�mero ao seu fatorial (em geral) resulta num n�mero
> gigantesco..., ao contr�rio de um n�mero, fatorialado e elevado ao pr�prio.
> EX:
> 5^(5!)= 7,523163845263e+83
> (5!)^5 = 24883200000
> Claro que este exemplo de bo�al n�o comprova nada, mas eu como tirei todas
> as outras anteriores, percebi que o fatorial � r�pido... bl�bl�bl�.
> S� queria saber como um matem�tico "s�rio" (ou seja, o Nehab t� fora, j� que
> � muito brincalh�o :-))) ) provaria para mim meu teorema... provavelmente
> esta fica contigo, Saldanha...
> 
> []s, B.
> :-))))

Oi Benjamin,
Wagner e Jos� Paulo mandaram refer�ncia mas, na tentativa
de tornar esta lista mais autocontida, ai vai um esbo�o de demonstra��o.

Lema: Se e <= a < b ent�o a^b > b^a.

Aqui e � 2.7182...

Dem: (usando c�lculo): basta provar que log(a^b) > log(b^a),
ou seja, que b log(a) > a log(b), ou seja, que log(a)/a > log(b)/b,
ou seja, que a fun��o f(x) = log(x)/x � decrescente a partir de e.
Para tal derivamos f: f'(x) = (1 - log(x))/(x^2).
Visivelmante negativo para x > e.

qed

Seu problema agora fica f�cil, pois claramente para n>2 temos
e < n < n!

Algu�m oferece uma demonstra��o mais elementar?

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau