Re: ABERTO EM |R3

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 23 Mar 1999 repretec@secrel.com.br wrote:

> 
> 	Meu nome eh Eduardo e sou estudande do 4 semestre de Matematica na U.F.C. 
> Estou penssando em um problema a mais ou menos uns 2 meses, e nao obtive
> susseso. Gostaria entao de apresenta-lo para os meus colegas integrantes
> desta lista e espero alguma ajuda.
> 
> 	Procuro em |R3 um aberto conexo, onde toda forma fechada eh exata , mas o
> mesmo nao eh simplesmente conexo.
> 	
> 	Em |R2 eh possivel mostra que realmente nao existe tal aberto. E em  |R4 ,
> resolvi o problma mergulhando o espaco projetivo |P2 em |R4, e tomando uma
> vizinhaca tubular do mesmo. 
> 	Gostaria de me desculpar, pois sei que esta lista nao tem o intuito de
> discutir problemas desta natureza, mas caso alguem tenha alguma ideia, por
> favor escreva-me.
> 	Certo da atencao de voces, Agradeco.
> 					Eduardo V. O. Teixeira
>
> 
> 

Este problema, apesar de fora dos objetivos desta lista, é muito bom.

A resposta que eu conheço é o lado de fora de uma bola chifruda.
O grupo fundamental é infinitamente gerado, mas sua abelianização é
trivial, o que demonstra a afirmação sobre 1-formas.

Para quem não sabe o que é uma bola chifruda...
Comecemos com uma esfera redonda e puxemos dois chifres
que quase se encontram; assim, superfície continua sendo topologicamente
uma esfera (se os chifres se encontrassem, passariamos a ter um toro).
Da ponta de cada chifre puxamos dois chifrinhos, cada um quase encontrando
seu "irmão" e cada par quase fazendo argolas que prenderiam os dois
chifres grandes. Da ponta de cada chifrinho saem chifrinhos ainda menores,
que quase formam argolas menores e assim por diante, até o infinito.
Segue como attachment uma figura do livro "Knots and links", de Dale 
Rolfsen, mostrando a esfera chifruda (como os galhos de uma árvore).
Deixei esta figura e outra igual mas em resolução maior em
ftp://ftp.mat.puc-rio.br/pub/users/nicolau/picts/yyg1.tif
ftp://ftp.mat.puc-rio.br/pub/users/nicolau/picts/yyg2.tif

[]s, N.

ygg1.tif