Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá,
estou tentando a seguinte abordagem:
Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha estiver fora do quadrado).
Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
A probabilidade desejada é:
[ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]

naturalmente, temos que se x > 1 ou x < 0 ou y > 1 ou y < 0, a agulha estará fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1... mais que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue todos os pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro desta região.
As simplificações iniciais são:
[ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
d(theta) dy dx ] / [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ...
2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]

seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
i) x < y  e  x+cos(theta) > y+sen(theta)
ii) x > y  e  x+cos(theta) < y+sen(theta)

Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
Re(p+z) <= 1 e Im(p+z) <= 1
isto é:
x + cos(r) <= 1  e  y + sen(r) <= 1

ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha tocar ou nao a diagonal).

abraços,
Salhab

2008/6/28 Bouskela <bouskela@xxxxxxxxx>:

1º Problema - este é MUITO difícil!

 

Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:

1)     A própria diagonal da base; e

2)     O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.

 

Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se, aleatoriamente, dentro da caixa.

 

Pergunta-se:

 

Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta de número "1", descrito acima? E o de número "2"?

 

Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:

http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html

 

 

2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.

 

Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior do que a altura do triângulo.

 

Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): "Given a circle. Find the probability that a chord chosen at random be longer than the side of an inscribed equilateral triangle".

Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html