Re: [obm-l] e^pi vs. pi^e

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

O jeito que eu conheço acho que é mais direto:
f(x) = lnx / x
f'(x) = 0 <==> (1 - lnx)/x^2  = 0 <==> x = e.
Então o ponto crítico é em x = e, e verifica-se que é máximo
Então:
f(e) > f(pi) <==> lne / e > ln pi / pi <==> pi > e ln pi <==> e^pi > e^(e ln pi) = pi^e.

2008/6/27 Bouskela <bouskela@xxxxxxxxx>:

Olá!

Sua solução - é claro - está correta! Entretanto, acho mais elucidativo demonstrar que

e^pi > pi^e

Demonstrando que:

Se   a > b >= e   então   b^a > a^b

E mais:

Se   e >= b > a >= 0   então   b^a > a^b

Daí:

Se   a >= 0   e   "a" é diferente de "e"   então   e^a > a^e   (dentre os números reais, apenas  "e"  tem esta propriedade).

Para demonstrar as desigualdades acima, basta analisar os intervalos nos quais a função

f(x) = [ln(x)]/x

é crescente e, depois, decrescente.

Sds.,

AB

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De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx] Em nome de Iuri
Enviada em: quinta-feira, 26 de junho de 2008 18:30
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Assunto: Re: [obm-l] e^pi vs. pi^e

e^x >= x+1 (demonstração a partir da expansão de e^x em torno do ponto zero)

Sabemos que a igualdade acontece somente para x=0, entao, supondo x diferente de zero, temos: e^x > x+1

Para x=pi/e -1, temos:

e^((pi/e) -1) > pi/e
e^(pi/e) > pi
e^pi > pi^e

On Thu, Jun 26, 2008 at 6:17 PM, Bouskela <bouskela@xxxxxxxxx> wrote:

Sem dispor de uma calculadora e, também, sem fazer contas, cálculos etc., demonstre, ANALITICAMENTE, que:

e^pi > pi^e

 

Sds.,

AB

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Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis666@xxxxxxxxxxx
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0