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[SPAM] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE â?? NÃ?VEL 3 -- 2ª questão
- To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
- Subject: [SPAM] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE â?? NÃ?VEL 3 -- 2ª questão
- From: douglas paula <douglasfogo@xxxxxxxxxxxx>
- Date: Thu, 29 May 2008 21:14:46 -0300 (ART)
- Domainkey-signature: a=rsa-sha1; q=dns; c=nofws; s=s1024; d=yahoo.com.br; h=X-YMail-OSG:Received:Date:From:Subject:To:In-Reply-To:MIME-Version:Content-Type:Content-Transfer-Encoding:Message-ID; b=3tHNvA7bLOoBE+dXAUQerUGPo19wPe6i+ykubpAalmh0UmQp/m9NV4oKPArujxX0ZHzpnWeqtIVdrqxlghPDwFCi0wGTuX9UBgE7XW6sneqmeByuIWgwETFD7bLPTpY1ZoLg730LI++9aNyvBOhjMybs96ZHVJAFqxl+4iYDYrY=;
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Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ?
abraços
Rodrigo Cientista <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx> escreveu:
Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:
como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007
partimos de duas constatações:
a) um quadrado perfeito par é divisível por 4
**prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2
b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1
**prova: tome x^2 ímpar ==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2
1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007)
2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007)
RESP: para 1503 inteiros c
----- Original Message -----
From: douglas paula
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 -- 2Ã?ª questÃ?£o
rodrigo,
 ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n
venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ...
rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx escreveu:

vou tentar,
2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo n�ºmero pode ser expresso como diferen�§a de dois quadrados, s�³ existem "c" tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferen�§a de dois quadrados
----- Original Message -----
From: douglas paula
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM
Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 -- 2Ã?ª questÃ?£o
XXIX OLIMPÃ?ADA BRASILEIRA DE MATEMÃ?TICA
TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 (Ensino MÃ?©dio)
PRIMEIRO DIA
PROBLEMA 2
Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007?
alguém se habilita?
grato,
                Douglas
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<div>Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ?</div> <div> abraços<BR><BR><B><I>Rodrigo Cientista <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx></I></B> escreveu:</div> <BLOCKQUOTE class=replbq style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: #1010ff 2px solid">Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:<BR>como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007<BR>partimos de duas constatações:<BR>a) um quadrado perfeito par é divisível por 4<BR>**prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2<BR>b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1<BR>**prova: tome x^2 ímpar
==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2<BR>1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007)<BR>2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja
divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007)<BR>RESP: para 1503 inteiros c<BR><BR>----- Original Message ----- <BR>From: douglas paula <BR>To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx <BR>Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM<BR>Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 -- 2Ã?ª questÃ?£o<BR><BR>rodrigo,<BR> ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n<BR>venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ...<BR>rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx escreveu:<BR> <BR>vou tentar,<BR>2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo nÃ?ºmero pode ser expresso como diferenÃ?§a de dois quadrados, sÃ?³ existem "c" tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferenÃ?§a de dois
quadrados<BR><BR>----- Original Message ----- <BR>From: douglas paula <BR>To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx <BR>Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM<BR>Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 -- 2Ã?ª questÃ?£o<BR><BR>XXIX OLIMPÃ?ADA BRASILEIRA DE MATEMÃ?TICA<BR>TERCEIRA FASE ââ?¬â?? NÃ?VEL 3 (Ensino MÃ?©dio)<BR>PRIMEIRO DIA<BR>PROBLEMA 2<BR>Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? <BR>alguém se habilita?<BR>grato, <BR>                Douglas<BR>--------------------------------------------------------------------------------<BR>Abra sua conta no Yahoo! Mail, o Ã?ºnico sem limite de espaÃ?§o para armazenamento! <BR><BR>--------------------------------------------------------------------------------<BR>Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
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