[SPAM] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2ª questão

[Rodrigo Cientista <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx>]

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Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:
como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007
partimos de duas constatações:
a) um quadrado perfeito par é divisível por 4
**prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2
b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1
**prova: tome x^2 ímpar ==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2
1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007)
2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007)
RESP: para 1503 inteiros c

----- Original Message ----- 
From: douglas paula 
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx 
Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão

rodrigo,
 ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n
venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ...
rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx escreveu:
 
vou tentar,
2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo número pode ser expresso como diferença de dois quadrados, só existem "c" tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados

----- Original Message ----- 
From: douglas paula 
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx 
Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM
Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão

XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA
TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino Médio)
PRIMEIRO DIA
PROBLEMA 2
Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? 
alguém se habilita?
grato, 
                 Douglas
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