RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Esta solucao do Rogerio é bem interessante!

Entretanto, as desigualdades apresentadas valem para qualquer sequencia a_n de numeros positivos tal que Soma(n = 1, oo) 1/a_n divirja - exatamente o caso da sequencia p_n dos numeros primos. De fato, se, para algum k >1, tivermos a_n < n^k para um numero finito de indices n, existe entao m tal que

a_n >= n^k > 0 para todo n >= m e, portanto,
0 < 1/a_n <= 1/n^k  tambem para todo n >= m

Como k >1, Soma(n=1, oo) 1/n^k converge, do que deduzimos, por comparacao, que Soma(n = 1, oo) 1/a_n tambem converge. Isto, porem, contraria a hipotese de que Soma(n = 1, oo) 1/a_n diverge, concluido-se portanto que, para todo k >1, a desigualdade a_n < n^k ocorre infinitas vezes.

A sequencia p_n é caso particular desta conclusao geral.

Abracos
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 7 de maio de 2008 02:26
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos


Ola' Ana,
pelo "teorema dos numeros primos"
( vide http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem ),
podemos aproximar "p_n" da seguinte forma:
p_n ~ n*log(n) + n*log(log(n))

Observe que log e' o log neperiano, e que a aproximacao e' por excesso.

Assim, basta provar que, quando k>1, ha' infinitos "n" tal que
n*log(n) + n*log(log(n)) < n^k

que e' o mesmo que:
log(n) + log(log(n)) < n^(k-1)

Fazendo as substituicoes
e^(k-1)=a  , onde a>1
log(n)=x

podemos reescrever a desigualdade como
x + log(x) < a^x

ou seja, (aplicando logaritmo nos 2 lados):
log(x+log(x)) / x  < log(a)

que e' verdadeira para infinitos "n" , pois a expressao da esquerda
converge para 0, quando x->oo.

[]'s
Rogerio Ponce



2008/5/5 Ana Evans Merryl <ana_ev@xxxxxxxxx>:
>
>  Este problema foi apresentado hah cerca de 1 mes, mas ninguem apresentou a solucao. Alguem tem a prova?
>
>  Seja p_n, n =1,2,3..., a sequencia dos numeros primos.  Mostre que, para todo k > 1, a desigualdade, p_n < n^k ocorre para uma infinidade de índices n.
>
>  Obrigada
>
>
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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