Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos

["Rogerio Ponce" <abrlwsky@xxxxxxxxx>]

Ola' Ana,
pelo "teorema dos numeros primos"
( vide http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem ),
podemos aproximar "p_n" da seguinte forma:
p_n ~ n*log(n) + n*log(log(n))

Observe que log e' o log neperiano, e que a aproximacao e' por excesso.

Assim, basta provar que, quando k>1, ha' infinitos "n" tal que
n*log(n) + n*log(log(n)) < n^k

que e' o mesmo que:
log(n) + log(log(n)) < n^(k-1)

Fazendo as substituicoes
e^(k-1)=a  , onde a>1
log(n)=x

podemos reescrever a desigualdade como
x + log(x) < a^x

ou seja, (aplicando logaritmo nos 2 lados):
log(x+log(x)) / x  < log(a)

que e' verdadeira para infinitos "n" , pois a expressao da esquerda
converge para 0, quando x->oo.

[]'s
Rogerio Ponce



2008/5/5 Ana Evans Merryl <ana_ev@xxxxxxxxx>:
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>  Este problema foi apresentado hah cerca de 1 mes, mas ninguem apresentou a solucao. Alguem tem a prova?
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>  Seja p_n, n =1,2,3..., a sequencia dos numeros primos.  Mostre que, para todo k > 1, a desigualdade, p_n < n^k ocorre para uma infinidade de índices n.
>
>  Obrigada
>
>
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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