Re: [obm-l] Funções - ITA 1978

["Igor Battazza" <battazza@xxxxxxxxx>]

Muito obrigado pela ajuda!

2008/5/3 Arlane Manoel S Silva <arlan@xxxxxx>:
>   (a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
>        Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que
> f(x)=y.
>              Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em B tal
> que
>              f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y pertence
> a B.
>              E está demonstrado.
>
>   (b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
>        Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=e^x => f injetora
>                        Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos
> que
>                        f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R tal que
> f(x)
>                        está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de
> B.
>                        ok!
>
>   (c) f[ f^-1(B) ] = B
>        O contraexemplo acima também serve!
>
>   (d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
>       Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=tang(x) => f sobrejetora
>       Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
>       f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
>       ok!
>
>    Acho que é isso.
>    Inté,
>
>  Citando Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>:
>
>
> >
> >
> >
> > Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
> > eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
> > chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
> >
> > Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
> > está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
> > pertence a B }, então:
> >
> > a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
> > importa :P )
> > b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
> > c) f[ f^-1(B) ] = B
> > d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
> > e) n.d.a.
> >
> > OBS: f^-1 é a inversa de f.
> >
> > Obrigado desde já!
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>       Arlane Manoel S Silva
>     Departamento de Matemática
>  Instituto de Matemática e Estatística-USP
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