Re: [obm-l] Funções - ITA 1978

[Arlane Manoel S Silva <arlan@xxxxxx>]

  (a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
       Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que f(x)=y.
             Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em  
B tal que
             f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y  
pertence a B.
             E está demonstrado.

  (b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
       Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=e^x => f injetora
                       Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos que
                       f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R  
tal que f(x)
                       está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de B.
                       ok!

  (c) f[ f^-1(B) ] = B
       O contraexemplo acima também serve!

  (d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
      Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=tang(x) => f sobrejetora
      Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
      f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
      ok!

   Acho que é isso.
   Inté,

Citando Igor Battazza <battazza@xxxxxxxxx>:

> Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
> eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
> chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
>
> Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
> está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
> pertence a B }, então:
>
> a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
> importa :P )
> b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
> c) f[ f^-1(B) ] = B
> d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
> e) n.d.a.
>
> OBS: f^-1 é a inversa de f.
>
> Obrigado desde já!
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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      Arlane Manoel S Silva
    Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e Estatística-USP


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