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Re: [obm-l] Álgebra
- To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
- Subject: Re: [obm-l] Álgebra
- From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>
- Date: Wed, 23 Apr 2008 18:53:34 -0300
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- Domainkey-signature: a=rsa-sha1; c=nofws; d=gmail.com; s=gamma; h=message-id:date:from:to:subject:in-reply-to:mime-version:content-type:content-transfer-encoding:content-disposition:references; b=BDF48o7gViYf2f4fyftRYDTFxMCFUKj8VikS8vB/7h18wD1A0Vxh1kenKlEVjH5UuMeieSCWOGr+z2SjdnL6mIL0mTh/Vzir4iFVr6HFub7BF3G0hXw8uP831NLblOlQ0YpqNhQ1kFP3SVP/Utb3yhRuMG6i4RCFXz7B5usSh78=
- In-reply-to: <192420.96547.qm@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>
- References: <192420.96547.qm@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>
- Reply-to: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
- Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Supondo (como o Henrique e o Rivaldo disseram) que você está querendo
"simplificar" a fração para achar um polinômio que dê exatamente o que
você quer, então você pode fazer o seguinte :
Se existir um polinômio P tal que P(X) = 1 / (2X + 1) no teu anel
complicado (A = Z_5[X] / <X^3 - 2>, que contém todos os polinômios com
coeficientes em Z_5 e tais que X^3 = 2) então (2X + 1)*P(X) = 1 mod 5
e mod X^3 - 2 (porquê você pode fazer isso é um curso de álgebra, e eu
estou meio sem tempo, mas se *convença* de que você pode fazer as
contas como se pudesse usar as duas congruências mais ou menos de
forma independente). Note também que (se eu não errei as minhas
contas, estou sem lápis) 3^3 = 27 = 2 mod 5 então o teu polinômio
acaba fatorando (X - 3)(X^2 - 3X + 9) em Z_5[X] o que nos dá um anel
com divisores de zero, e poderia ser que 2X + 1 não tivesse inverso,
mas acho que não será o caso. Como X^3 = 2 no anel A, a gente só
precisa testar os polinômios do tipo P(X) = aX^2 + bX + c (qualquer
outra coisa, a gente "simplifica", e como Z_5 é um corpo, não tem
problema, os coeficientes sempre são inversíveis.
Agora basta montar a equação P(X) * (2X + 1) = 1, lembrando que 5 = 0
e que X^3 = 2, para cair num sisteminha de três equações e três
incógnitas igualando os coeficientes dos dois lados (o direito é 0X^2
+ 0X + 1 !) (Dica : 2aX^3 + c = 1 É SIM uma das equações, ela só está
disfarçada porquê X^3 = 2, logo isso dá 4a + c = 1, ou c = a + 1)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2008/4/20 Alan Pellejero <mathhawk2003@xxxxxxxxxxxx>:
> Olá amigos da lista,
>
> estou estudando alguns exercícios de álgebra e tenho
> uma dúvida no seguinte exercício.
>
>
> * Calcule
> ________
> 1 Z_5 [X]
> -------- em ------------
> 2X + 1 < X^3 - 2 >
>
> ___ ___ ___ _____
> Notação: 1 = 1 barra e Z_k = { 0, 1,... k-1 }
>
> Não entendi a notação < >. Alguém me ajuda, por favor?
>
> Obrigado,
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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