[obm-l] Exercicios de Analise 6

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Pessoal !

Seguem mais tres solucoes. Coloquei apenas 3 porque duas delas tem
diversos itens e fica
cansativo escrever. Reitero tres coisas :

1) As solucoes sao exclusivamente minhas, feitas ao longo da semana
nos (poucos) momentos
de lazer. Assim, qualquer erro encontrado e unica e exclusivamente culpa minha
2) O espirito que preside esta publicacao e o mesmo do projeto DEBIAN
/ GNU Linux, vale
dizer, qualquer pessoal esta desta ja autorizada a copiar, transmitir
, aperfeiçoar e ensinar
livremente, sem onus ou obstaculo algum
3) As questoes estao propostas no Livro :

Curso de Analise - Volume 1
Projeto Euclides - IMPA
Autor : Elon Lages Lima
11 edicao - 2 impressao


"O que foi, torna a ser. O que, perde existencia.
O palpavel e nada : o nada assume essencia !"
( Fausto, de Goethe )

Read Fausto Here :
http://www.ebooksbrasil.org/eLibris/faustogoethe.html


INICIO

( EXERCICIO 4.17)

Sejam dadas duas sequencias xn e yn, limitadas. Entao definimos : Xn =
{ xn, xn+1, ... } e
Yn = {yn, yn+1, ... }. Alem disso, adotaremos :

an = INF Xn, An = SUP Xn, bn = INF Yn e Bn = SUP Yn
zn = xn + yn, wn =xn*yn, Zn = {zn, zn+1, ... } e Wn={wn, wn+1, ... }
raiz_N(P) = raiz N-esima de P

ITEM A

Dado E > 0.
Como LIM SUP xn = LIM An = INF {An} = A entao A+(E/2) nao pode ser uma
cota inferior
de {An}, pois A+(E/2) > A e "A", sendo o infimo, e a maior das cotas
inferiores. Segue que
existe N0 tal que An0 < A + (E/2). Mas An0=SUP{xn0, xn0+1, ... }.
Assim, n > N0 => xn <
A + (E/2).

Igualmente, como LIM SUP yn = LIM Bn = INF {Bn} = B entao B + (E/2)
não pode ser cota
inferior de Bn, pois B+(E/2) > B e "B", sendo infimo, e a maior das
cotas inferiores. Segue
que existe N1 tal que Bn1 < B+(E/2). Mas Bn1=SUP{yn1, yn1+1, ...}.
Assim, n> N1 => yn
< B+(E/2)

Tomando N2=max{ N1, N0} teremos que n > N2 => xn+yn < A+B+E. Eu afirmo que este
resultado estabelece que LIM SUP(xn + yn) =< A+B ...

Com efeito, se supormos que C=LIM SUP(xn + Yn)=INF SUP {Zn } > A+B basta
tomarmos um real positivo E tal que A + B + E < C que, pelo que vimos, havera um
correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn+yn < A+B+E, vale dizer :
n>N2, SUP {Zn}
=< A+B+E < C=INF SUP{Zn} ... ABSURDO !

Nao podendo ser LIM SUP(xn + yn) > A+B segue que LIM SUP(xn + yn) =< A+B, como
queriamos demonstrar.

***
Como LIM INF xn = LIM an = SUP { an } = a, a – (E/2) nao pode ser uma
cota superior de
{ an }, pois a-(E/2) < a e "a", sendo supremo, e a menor das cotas
superiores. Segue que
existe N0 tal que an0 > a-(E/2). Mas an0=INF{xn0, xn0+1, ... }. Assim,
n>N0 => xn>a-
(E/2).

Igualmente, como LIM INF yn = LIM bn = SUP { bn } = b, b – (E/2) nao
pode ser uma cota
superior de { bn }, pois b-(E/2) < b e "b", sendo supremo, e a menor
das cotas superiores.
Segue que existe N1 tal que bn1 > b-(E/2). Mas bn1=INF{yn1, xn1+1, ...
}. Assim, n>N1
=> yn>b-(E/2)

Tomando N2=max{N1,N0} teremos que n > N2 => xn+yn > a+b - E Eu afirmo que este
resultado estabelece que LIM INF(xn+yn) >= a+b ...

Com efeito, se supormos que c=LIM INF(xn + Yn)=SUP INF {Zn } < a+b
basta tomarmos
um real positivo E tal que c < a + b - E que, pelo que vimos, havera
um correspondente
N2 tal que n > N2 implicara xn+yn > a+b-E, vale dizer : n>N2, INF{Zn}
>= a+b-E > c=SUP
INF {Zn} ... ABSURDO !

Assim, não podendo ser LIM INF(xn+yn) < a+b segue que LIM INF(xn+yn)
>= a+b, como
queriamos demonstrar.

DESIGUALDADES ESTRITAS ( Item A ) :

Sejam xn=(-1)^N e yn= -xn. Temos que LIM SUP xn=LIM SUP yn = 1, LIM INF xn = LIM
INF yn = -1 e LIM SUP(xn+yn)=LIM INF(xn+yn)= 0. Logo :
0 = LIM SUP (xn+yn) < LIM SUP xn + LIM SUP yn = 2 .
0 = LIM INF (xn+yn) > LIM INF xn + LIM INF yn = -2

***
ITEM B

Seja -Xn = { -xn, -xn+1, ... }. Afirmamos que :

SUP -Xn = -INF Xn
INF -Xn = -SUP Xn

Com efeito, SUP Xn >= xp, para todo p >= n => - SUP Xn =< - xp, para
todo p >= n =>
-SUP Xn e cota inferior de -Xn. E facil ver que trata-se da maior cota
inferior, pois, se
existisse um M > -SUP Xn tal que M =< -xp, para todo p >=n entao teriamos
imediatamente que -M < SUP Xn e -M >= xp, para todo p >= n => -M e uma
cota superior
de Xn menor que SUP Xn ... ABSURDO ! Assim, - SUP Xn e a maior cota
inferior de -Xn,
isto e, -SUP Xn = INF -Xn, como afirmamos.

Igualmente, temos que INF Xn =< xp, para todo p >=n => -INF Xn >= -xp,
para todo p>=n
=> -INF Xn e cota superior de -Xn. E igualmente facil ver que trata-se
da menor cota
superior, pois, se supormos que existe um N < -INF Xn tal que N >=
-xp, para todo p >=n,
entao teriamos imediatamente que -N > INF Xn e -N =< xp, para todo p
>= n => N e uma
cota inferior de Xn maior que INF Xn ... ABSURDO ! Assim, -INF Xn e a menor cota
superior de -Xn, isto e, -INF Xn = SUP -Xn, como afirmamos.

Agora, variando "n", olhamos para SUP Xn, INF Xn, SUP -Xn e INF -Xn
como conjuntos,
seguira :

SUP -Xn = -INF Xn => INF SUP -Xn = INF{-INF Xn} => LIM SUP (-xn) =
-SUP INF xn =>
LIM SUP -xn = - LIM INF xn => LIM SUP -xn = -a
INF -Xn = - SUP Xn => SUP INF -Xn= SUP{-SUP Xn} => LIM INF -xn = -INF SUP xn =>
LIM INF -xn = - LIM SUP xn => LIM INF -xn = -A
Como queriamos demonstrar.

***

ITEM C

Aqui estaremos supondo que xn >= 0 e yn >= 0 para todo n. Segue que
"a", "A", "b" e "B"
nao sao negativos. A linha de raciocinio sera semelhante a adotada no item A.

Seja r1 um real, r1 > 1. Como LIM SUP xn = LIM An = INF {An} = A entao
A*r1 nao pode
ser uma cota inferior de {An}, pois A*r1 > A e "A", sendo o infimo, e
a maior das cotas
inferiores. Segue que existe N0 tal que An0 < A*r1. Mas An0=SUP{xn0,
xn0+1, ... }.
Assim, n > N0 => xn < A*r1.

Seja agora r2 um real, r2 > 1. Igualmente, como LIM SUP yn = LIM Bn =
INF {Bn} = B
entao B*r2 não pode ser cota inferior de Bn, pois B*r2 > B e "B",
sendo infimo, e a maior
das cotas inferiores. Segue que existe N1 tal que Bn1 < B*r2. Mas
Bn1=SUP{yn1, yn1+1,
...}. Assim, n> N1 => yn < B*r2

Tomando N2=max{ N1, N0} teremos que n > N2 => xn*yn < AB*r1*r2 = AB*r,
onde r > 1.
Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM SUP(xn*yn) =< A*B ...

Com efeito, se supormos que C=LIM SUP(xn*yn)=INF SUP {Wn } > A*B basta tomarmos
um real positivo r, r > 1, tal que AB*r < C que, pelo que vimos,
havera um correspondente
N2 tal que n > N2 implicara xn*yn < AB*r, vale dizer : n>N2, SUP {Wn}
=< AB*r < C=INF
SUP{Wn} ... ABSURDO !

Assim, não podendo ser LIM INF(xn*yn) > AB segue que LIM INF(xn*yn) =< AB, como
queriamos demonstrar.

***

Seja r1 um real, 0 < r1 < 1. Como LIM INF xn = LIM an = SUP { an } =
a, a*r1 nao pode
ser uma cota superior de { an }, pois a*r1 < a e "a", sendo supremo, e
a menor das cotas
superiores. Segue que existe N0 tal que an0 > a*r1. Mas an0=INF{xn0,
xn0+1, ... }. Assim,
n > N0 => xn > a*r1.

Seja agora r2 um real, 0 < r2 < 1. Como LIM INF yn = LIM bn = SUP { bn
} = b, b*r2 nao
pode ser uma cota superior de { bn }, pois b*r2 < b e "b", sendo
supremo, e a menor das
cotas superiores. Segue que existe N1 tal que bn1 > b*r2. Mas
bn1=INF{yn1, xn1+1, ... }.
Assim, n>N1 => yn > b*r2

Tomando N2=max{N1,N0} teremos que n > N2 => xn*yn > ab*r1*r2=ab*r,
onde 0 < r < 1.
Eu afirmo que este resultado estabelece que LIM INF(xn*yn) >= a*b ...

Com efeito, se supormos que c=LIM INF(xn*yn)=SUP INF {Wn } < a*b basta tomarmos
um real positivo r, 0 < r < 1, tal que c < ab*r que, pelo que vimos, havera um
correspondente N2 tal que n > N2 implicara xn*yn > ab*r, vale dizer :
n>N2, INF{Wn} >=
ab*r > c=SUP INF {Wn} ... ABSURDO !

Assim, não podendo ser LIM INF(xn*yn) < ab segue que LIM INF(xn*yn) >= ab, como
queriamos demonstrar.

DESIGUALDADES ESTRITAS ( Item C ) :

Sejam xn=raiz_2(2) - cos((pi*N)/2) e Yn = raiz_2(2) + cos((pi*N)/2).
Temos que LIM SUP
xn=LIM SUP yn = raiz_2(2) + 1, LIM INF xn = LIM INF yn = raiz_2(2) -1 e LIM
SUP(xn*yn)=2 e LIM INF(xn*yn)= 1. Logo :

2 = LIM SUP (xn*yn) < (LIM SUP xn)*(LIM SUP yn) = 3 + 2*raiz_2(2) .
1 = LIM INF (xn*yn) > (LIM INF xn )*( LIM INF yn ) = 3 - 2*raiz_2(2)

( EXERCICIO 4.18 )

Seja wn = tn*xn + (1 - tn)*yn. Vamos colocar assim : Wn = tn*(xn-yn) +
yn. E obvio
ululante que LIM (xn-yn) = 0. Como a sequencia tn e limitada, pois |
tn | =< 1 segue que
LIM (tn*(xn-yn))=0. Portanto :

LIM wn = LIM (tn*(xn-yn)) + LIM yn = 0 + a = a

( EXERCICIO 4.19 )

NOTACAO : Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N) , | r | = modulo do real r

E facil ver que sendo vn=Si[1,N:|xi+1 - xi| } entao vn = vn-1 + |xn+1
- xn|, vale dizer,
teremos sempre vn >= vn-1. Segue que {vn} e monotona. Sendo, alem
disso, limitada,
entao e convergente.

ITEM A

Vimos acima que {xn} tendo variacao limitada implica que { vn } e
convergente. Ora, como
toda sequencia convergente e de Cauchy, segue que { vn } e uma
sequencia de Cauchy,
vale dizer, para todo real E > 0 fixado, existe um natural N0 tal que
para quaisquer
naturais M, N > N0 implica | vm - vn | < E.

Por outro lado, e facil ver que :
|vm - vn| = Si[ N+1,M :| xi+1 - xi| ] >= | Si[ N+1,M :( xi+1 - xi) ] |
= | xm+1 - xn+1 |
Assim : |vm - vn | < E => | xm+1 - xn+1 | < E, ou seja, para todo real
E > 0 fixado existe
um natural N0 tal que para quaisquer naturais p=m+1, q=n+1 > N0
implica | xp - xq | < E.
Isto prova que { xn } e uma sequencia de Cauchy. Como todo sequencia
de numeros reais
que e de Cauchy e convergente, segue que { xn } e convergente.

Existe portanto o LIM Xn, como queriamos demonstrar.

ITEM B

Usarei Pi[ 1,N: F(i) ] = F(1)*F(2)* ...*F(N), onde " * " e o sinal de
multiplicacao.

Como 0 =< | xn+2 - xn+1 | =< c*| xn+1 - xn |, as propriedades dos
numeros reais nos
permitem escrever : Pi[1,P : |xi+2 - xi+1| ] =< Pi[1,P : c*|xi+1 - xi|
]. Daqui, apos
eliminarmos os fatores positivos comuns aos dois lados da
desigualdade, chegaremos a :

| xp+2 - xp+1 | =< (c^P)*| x2 - x1 |

Aplicando o somatorio, P variando de 1 a N -1 :

Sp[1,N-1:| xp+2 - xp+1 | ] =< Sp[1,N-1:(c^P)*| x2 - x1 | ] =>
|x2 - x1| + Sp[1,N-1:| xp+2 - xp+1 | ] =< |x2 - x1| + Sp[1,N-1:(c^P)*|
x2 - x1 | ]
vn =< (1+ c + c^2 +...+c^(N-1) )*|x2 - x1|

Fazendo d=|x2 - x1| e notando que 1+c+...+c^(N-1) e uma progressao geometrica de
razao 0 =< c < 1 e que portando 1+c+...+c^N < 1/(1-c) para todo N, teremos :
vn =< d / (1-c) para todo N => | vn | =< d/(1-c) => { vn } e limitada
=> { xn } e de
variacao limitada,

ITEM C

(IDA, =>) Seja { Xn } uma sequencia de variacao limitada e Vn como
definida acima, vale
dizer, Vn= Si[1,N:| Xi+1 - Xi | ]. Sabemos que { Vn } e limitada,
existindo portanto um L
real positivo tal que | Vn | =< L, para todo n. Isto posto, definimos :

Y1= X1 e Yn = Xn + Vn-1 se n > 1
Z1 =0 e Zn = Vn-1 se n > 1

Agora, e facil ver que :

1) Yn - Zn = Xn, para todo n
2) Zn e limitada porque, por hipotese, Vn e limitada. Yn tambem e
limitada por ser a soma
de duas sequencias limitadas : { Xn } e limitada porque, pelo ITEM A,
e convergente e
{Vn} e limitada porque, por hipotese, {Xn} e de variacao limitada.
Assim, tanto {Yn} quanto
{Zn} sao limitadas
3) Zn e nao-decrescente porque e soma de modulos de numeros reais. Quanto a Yn,
basta ver que : Yn+1 - Yn = (Xn+1 - Xn) + |Xn+1 - Xn|. Se Xn+1 >= Xn
entao teremos que
|Xn+1 - Xn| = Xn+1 - Xn => Yn+1 - Yn = 2(Xn+1 - Xn) >= 0. Se Xn+1 < Xn
entao teremos
que |Xn+1 - Xn| = Xn - Xn+1 => Yn+1 - Yn = 0 => Yn+1 = Yn. Portanto,
sob qualquer
hipotese, Yn+1 >= Yn => Yn e nao-decrescente.

Os itens 1), 2) e 3) estabelecem a implicacao direta.

(VOLTA, <=) Seja Xn = Yn - Zn onde {Yn} e {Zn} sao limitadas e nao-decrescente.
Queremos mostrar que { Xn } e de variacao limitada.

Seja Di = | Xi+1 - Xi |. Entao Vn = Si [1,N:Di ]. E facil ver o seguinte :

Di = |Yi+1 -Zi+1 - Yi + Zi| = |Yi+1 - Yi + Zi - Zi+1| =< |Yi+1 - Yi| +
|Zi - Zi+1|
Di =< |Yi+1 - Yi| + | Zi+1 - Zi| = (Yi+1 - Yi) + (Zi+1 - Zi)

Portanto ( agrupando os Y's e Z's do somatorio ) :

Vn = Si[1,N:Di] =< (Yn+1 - Y1) + (Zn+1 - Z1)
Como {Yn} e {Zn} sao limitadas, existem reais positivos L1 e L2 tais
que |Yn| =< L1 para
todo n e |Zn| =< L2. para todo n. Alem disso, as sequencias sao tambem
naodecrescentes,
vale dizer :

-L1 =< Y1 =< Y2 =< ... =< Yn =< ... =< L1 => Yn - Y1=< L1 -(-L1) =
2*L1, para todo n
-L2 =< Z1 =< Z2 =< ... =< Zn =< ... =< L2 => Zn - Z1 =< L2 -(-L2) =
2*L2, para todo n

Logo :

| Vn | =< 2*(L1+L2) para todo n => { Vn } e limitada => {Xn} e de
variacao limitada, como
queriamos demonstrar.

ITEM D

Seja r um real qualquer. Definimos : Xn = r + ( ( (-1)^N ) / N ). E
obvio ululante que esta
sequencia e convergente e LIM Xn = r. Entretanto :

Di = | Xi+1 - Xi | = | ( ( (-1)^(i+1) ) /(i+1) ) - ( ( (-1)^i ) / i )
| > 2/(i + 1)

Portando :

Vn = Si[1,N : Di ] > 2*( (1/2) + (1/3) + ... + (1/(N+1)) )

Como a serie harmonica e divergente, vale dizer, torna-se e se mantem maior que
qualquer grandeza dada, segue que Vn nao e limitada. Assim, {Xn} e um exemplo de
sequencia convergente que nao e de variacao limitada.


FIM


Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
6,0B21,120408

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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