[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
[SPAM] Re: [obm-l] Soma !!!
SPAM: -------------------- Start SpamAssassin results ----------------------
SPAM: This mail is probably spam. The original message has been altered
SPAM: so you can recognise or block similar unwanted mail in future.
SPAM: See http://spamassassin.org/tag/ for more details.
SPAM:
SPAM: Content analysis details: (5.00 hits, 5 required)
SPAM: IN_REP_TO (-0.8 points) Found a In-Reply-To header
SPAM: REFERENCES (-0.5 points) Has a valid-looking References header
SPAM: X_MAILING_LIST (-0.3 points) Found a X-Mailing-List header
SPAM: SPAM_PHRASE_00_01 (0.8 points) BODY: Spam phrases score is 00 to 01 (low)
SPAM: QUOTED_EMAIL_TEXT (-0.8 points) BODY: Contains what looks like a quoted email text
SPAM: MAILTO_TO_SPAM_ADDR (0.7 points) URI: Includes a link to a likely spammer email address
SPAM: RCVD_IN_ORBS (2.2 points) RBL: Received via a relay in orbs.dorkslayers.com
SPAM: [RBL check: found 242.178.233.64.orbs.dorkslayers.com., type: 68.178.232.99]
SPAM: RCVD_IN_OSIRUSOFT_COM (0.4 points) RBL: Received via a relay in relays.osirusoft.com
SPAM: [RBL check: found 242.178.233.64.relays.osirusoft.com.]
SPAM: X_OSIRU_OPEN_RELAY (2.7 points) RBL: DNSBL: sender is Confirmed Open Relay
SPAM: PLING_PLING (1.5 points) Subject has lots of exclamation marks
SPAM: AWL (-0.9 points) AWL: Auto-whitelist adjustment
SPAM:
SPAM: -------------------- End of SpamAssassin results ---------------------
Um metodo que eu conheço pra fazer esses somatorios é o seguinte
vou escrever o somatorio de f(k) com k variando de "a" até "b" como
(com a e b inteiros, b>=a)
soma [k=a,b] f(k)
seja D o operador que faz Df(k)=f(k+1)-f(k) [ normalmente escrevo o
D como o simbolo delta mas com aqui nao tem opção escrevo D mesmo]
temos que
soma [k=a,b] Df(k)= f(b+1)-f(a) conhecida como soma telescópica
com isso podemos fazer o seguinte , definino o somatorio indefinido
soma f(k) =g(k) se e somente se Dg(k)=f(k), que é util pois se voce
sabe uma função cujo D aplicado de f(k) voce resolve o somatorio ,
pois se Dg(k)=f(k) temos
soma [k=a,b] f(k)= soma [k=a,b] Dg(k) =g(b+1)-g(a) por soma telescopica
e se voce tem a soma indefinida
soma f(k) =g(k) voce pode aplicar os limites do somatorio depois, ficando assim
se soma f(k) =g(k) então soma[k=a,b] f(k) =g(b+1) -g(a)
entao a principio vou trabalhar os somatorios sem limites superior e
inferior achando a "primitiva finita " (xDDDD) deles , começando com
somatorio de termos do tipo a^k, com a fixo e k variando, a soma de
termos da p.g
começo aplicando D em a^k, Da^k =a^(k+1)-a^(k) =a.a^k -a^k =a^k(a-1)
logo Da^k=(a-1)a^(k)
aplicando o somatorio de ambos lados temos
soma Da^k= soma (a-1)a^(k)
mas como soma Da^k=a^k, temos
a^k= soma (a-1)a^(k), se a diferente de 1, podemos dividir ambos lados
por (a-1) ficando
soma a^k = (a^k)/(a-1), onde voce aplica os limites inteiros que
quiser depois *(sempre que eu falar isso é com a condição que o limite
superior seja inteiro maior ou igual ao limite inferior (caso
contrario defina o somatorio como somatorio sobre conjunto vazio sendo
zero))
agora pra calcular soma k.a^k, eu costumo usar a técnica de soma por
partes (analogo a integração por partes) que segue do seguinte
D[g(k).f(k)] =g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k)
somando e subtraindo f(k+1).g(k) temos
D[g(k).f(k)] =g(k+1).f(k+1)-f(k+1).g(k) +f(k+1).g(k)-g(k).f(k)
colocando f(k+1) em evidencia no primeiros 2 termos e g(k) em
evidencia nos dois "segundos" temos
D[g(k).f(k)] = f(k+1)[g(k+1)-g(k)] + g(k) [f(k+1)-f(k) ]
vendo que aparece g(k+1)-g(k) =Dg(k) e f(k+1)-f(k) =Df(k) escrevemos
D[g(k).f(k)] = f(k+1)[Dg(k)] + g(k) [Df(k) ] que é a formula analoga
a derivação de produto (caso finito)
aplicando o somatorio de ambos lados temos
soma D[g(k).f(k)] = soma f(k+1)[Dg(k)] + g(k) [Df(k) ] e pela
linearidade do somatorio e pelo telescopico
g(k).f(k)= soma f(k+1)[Dg(k)] +soma g(k) [Df(k)]
assim
soma g(k) [Df(k)] = g(k)f(k) - soma f(k+1)[Dg(k)]
e vou usar isso pra calcular soma k.a^k
soma k.a^k, vou tomar g(k)= k entao Dg(k)=g(k+1)-g(k)=x+1-x=1
e tomar Df(k)=a^k então f(k)= a^(k)/ (a-1)
com isso temos pela formula
soma k.a^k = k.a^(k)/(a-1) - soma a^(k+1)/(a-1) =
=k.a^(k)/(a-1) - a/(a-1)soma a^(k), e como sabemos que soma
a^(k)=a^(k)/(a-1) [ que foi feito antes), temos que
soma k.a^k =k.a^(k)/(a-1) - a.a^(k)/(a-1)^2
onde voce aplica os limites depois, sendo g(k)=k.a^(k)/(a-1) - a.a^(k)/(a-1)^2
voce tem o somatorio com os limites
soma[k=c,b] k.a^k =g(b+1)-g(c)
usando isso pra resolver o problema temos
soma [k=1,n] [k.10^k -k] = soma [k=1,n] k.10^k -soma [k=1,n] k =
=soma [k=1,n] k.10^k -(n)(n+1)/2 no primeiro somatorio usando a
formula acima ficamos com
soma [k=1,n] [k.10^k -k] =10^(n+1)[9n-1]/81 +10/81 -n(n+1)/2
e finalmente multiplicando por 1/9 que era a constante que ficava pra
fora do somatorio temos
1/9 [10^(n+1)[9n-1]/81 +10/81 -n(n+1)/2]
os metodos que usei acima podem ser usado pra resolver outros
somatorios, como por exemplo c(k,p)a^k onde c(k,p) é o coeficiente
binomial e k varia no somatorio, somatorio de seno e cosseno, esses
metodos + numeros de stirling do segundo tipo pra resolver somatorio
de potencias (base variando) (k^p, k variando, p natural), hum...
Em 09/04/08, Pedro Júnior<pedromatematico06@xxxxxxxxx> escreveu:
> Eita mundão da matemática...
>
> Rapaz 1ª vez que vi esta fórmula, nossa, mas faz sentido claro...
>
> vou verificar valeu mesmo, só uma perguntinha, onde vc encontrou essa
> questão mesmo?
>
> pois encontrei numa lista de exercício por aí, e coloquei na minha porém não
> havia resolvido antes.
>
> resultado nome da questão: UM PROFESSOR EM APUROS!!!
>
> KKKKKKKKKKK
>
> Bom, agradeço bastante a colaboração e vou apicar indução afim de verificar
> se vale para todo n.
>
> abraços
>
> E a caminhada continua!
>
> 2001/11/1 Pedro <npc1972@xxxxxxxxx>:
>
> >
> >
> > Essa questão deu muito trabalho à tres semana, mais no fim deu certo.
> >
> > Seja S_n = 1.11^0 + 2.11^1 +3.11^2 +...........+n.11111111111 rescrever
> de uma maneira para facilitar a solução:
> >
> > S_n = 1.(10^1 - 1)/9 +2.(10^2 - 1)/9 +............+n.(10^n - 1)/9
> >
> > S_n = 1/9.[ (1.10^1 +2.10^2+.......+n.10^n) - (1+2+3+.......+n)]
> >
> > Esta parte que eatá em negrito é : Série aritmético - geométrica. Você
> aplica a sguinte fórmula:
> >
> > S_n=[ a_1(1 - q^n)/1- q] + rq[1 - nq^(n - 1) +(n - 1).q^n]/(1
> - q)^2
> >
> > obs:a_0=0 , a_1=1 e q=10
> >
> > Portanto,
> >
> > S_n= 1/9 {10/81( 1+9n.10^n - 10^n) - [n(n+1)]/2}
> >
> > Testei com n=1,2,3 e deu certo
> >
> >
> >
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: saulo nilson
> > To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > Sent: Tuesday, April 08, 2008 11:26 PM
> > Subject: Re: [obm-l] Soma !!!
> >
> >
> > (1+n)n/2+(2+n)(n-1)/2+(3+n)(n-3)/2,,,
> > soma(k+n)(n-(k-1))/2=1/2soma(n^2-k^2)+n+k=
> > =1/2(n^3+n^2+(1+n)n/2-n(n+1)(2n+1)/6=
> > =3n(n+1)(6n+3-(2n+1))=12n(n+1)^2
> >
> >
> > 2008/4/8 Pedro Júnior <pedromatematico06@xxxxxxxxx>:
> >
> > > Engalhei na seguinte soma:
> > >
> > > Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11
> + 111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo
> assim ainda não saiu!
> > >
> > >
> > > S_n = 1 + 22 + 333 + 4444 + ... + n ( 111...1)
> > >
> > >
> > > onde (111...1) tem exatamente n dígitos.
> > >
> > > Desde Já agradeço!!!
> > >
> >
> >
>
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================