Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

oi, vou tentar te ajudar com esses problemas




vou usar uma notação simplificada, a de somatorio, (temo que isso
dificulte sua leitura =/)
vou escrever o somatorio como
soma [k=1, n] f(k) que é o mesmo que informalmente a

soma [k=1, n] f(k)= f(1)+f(2)+....+f(n-1)+f(n)
que definido por recorrencia por

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
e
soma [k=1, n] f(k)= 0 se  n<1, isto é, se o limite superior é menor
que o inferior
mas o que voce precisa saber realmente é que

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)

soma [k=1, n] f(k)= f(1)+f(2)+....+f(n-1)+f(n)

isto é, que esse simbolo
soma [k=1, n] f(k)= equivale a toma a soma de f(k), com k variando de 1 até n

f(1)+f(2)+....+f(n-1)+f(n)

o que vai ser usado nas demonstrações vai ser isso
soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n).
(eu considero mais formal e compacto usar a notação de somatorio)
agora vamos pra primeira

2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);

com a notação de somatorio isso se escreve
soma [k=1, n] k^2=[n(n+1)(2n+1)]/6

para n=1 temos
soma [k=1, n] k^2= 1^2=1
e no outro lado temos
[1(1+1)(2+1)]/6= 1(2)(3)/6=1, entao a base da indução esta provada

agora vamos tomar por hipotese de que
soma [k=1, n] k^2=[n(n+1)(2n+1)]/6

e provar para (n+1)

soma [k=1, n+1] k^2=[(n+1)(n+2)(2n+3)]/6
mas primeiro vamos expandir  [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6, pois provavelmente nao vamos
chegar na forma fatorada bunitinha como esta acima
 [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6=1+13n/6 +3n^2 /2 +n^3/3

vamos expandir tb [n(n+1)(2n+1)]/6
[n(n+1)(2n+1)]/6= n/6 +n^2/2 +n^3/3

agora vamos pra demonstração
soma [k=1, n+1] k^2=soma [k=1, n] k^2 + (n+1)^2 (pela definição de
somatorio), mas pela hipotese temos
soma [k=1, n] k^2 =[n(n+1)(2n+1)]/6 que expandido é = n/6 +n^2/2 +n^3/3
somando com (n+1)^2 = n^2 +2n+1, ficamos com
n/6 +n^2/2 +n^3/3 + n^2 +2n+1=n^3/3+ 3n^2/2 +13n/6 +1= [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6

=x, tenta fazer o resto se nao conseguir ou nao entender algo, tenta responder

o/
2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);

Em 03/03/08, Rubens Kamimura<rubens.kamimura@xxxxxxxxxxx> escreveu:
> Olá turma da LISTA!!!
>
>  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
>
>  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
>  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
>  pertencente ao conjunto dos números naturais?
>
>  2. Como podemos provar por indução matemática:
>  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
>  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
>  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
>
>  Abraços
>
>  leigo e neófito...
>
>
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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