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[SPAM] Re: [obm-l] Soma das potências q das raízes de um polinômio
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Ola Jones.
Acho que esta certo sim.
Veja que se P(x) = a.x^(n) + b.x^(n-1) + .... + c, temos que a derivada P'(x) = a*n*x^(n-1) + .... .dai quando dividirmos P'(x) por P(x) teremos como primeiro termo no quociente n*x^(-1) e portanto S0 = n (ou seja, a ordem do polinomio). Isto e razoavel nao e? Veja que temos n raizes e a soma das potencias de ordem zero (isto e 1) destas raizes sera n. Como no exemplo mostrei um polinomio e de grau 2, S0 = 2.
Ou basta montar a divisao (no exemplo as raizes sao 2 e 3)
===1)
2x - 5..................| x^2 - 5x + 6
-2x + 10 - 12x^(-1).|---------------------
----------------------------....2x^(-1)
5 - 12^x(-1) Dai S0 = 2 = 2^(0) + 3^(0)
===2)
5 - 12^x(-1)................| x^2 - 5x + 6
-5 + 25^x(-1) - 30x^(-2).|---------------------
----------------------------------....5x^(-2)
13^x(-1) - 30x^(-2) Dai S1 = 5 = 2^(1) + 3^(1)
===3)
13^x(-1) - 30x^(-2) ...............| x^2 - 5x + 6
-13^x(-1) + 65x^(-2) - 78x^(-3).|---------------------
---------------------------------------------....13x^(-3)
35^x(-2) - 78x^(-3) Dai S2 = 13 = 2^(2) + 3^(2)
e assim sucessivamente.
colombo <jones.colombo@xxxxxxxxx> escreveu:
Luis, você tem certeza disto? Porque S0=2? Acho que não é bem assim não!
Jones
2008/2/13 Luis Matos <luispvale@xxxxxxxxxxxx>:
Se dividirmos P'(x) por P(x) teremos como polinomio quociente algo da forma Q(x) = S0*x^(-1) + S1*x(-2) + S2*x(-3) + .....
Temos que:
Sq = soma das potencias de ordem q das raizes de P(x).
Acho que isso e devido a Newton!?
Exemplo:
P(x) = x^2 - 5x + 6
P´(x) = 2x - 5.
=> P´(x) = P(x)*( 2x^(-1) +5x^(-2) +13x^(-3) +35x^(-4) + .... )
S0 = 2, S1 = 5, S2 = 13, S3 = 35, ....
Luis Matos.
Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
Se q é um inteiro positivo, existe alguma forma relativamente fácil de se determinar a soma das potências q das raízes de um polinômio? Algo, por exemplo, baseado nas reações de Girard?
Obrigado
Artur
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<div>Ola Jones.</div> <div>Acho que esta certo sim.</div> <div>Veja que se P(x) = a.x^(n) + b.x^(n-1) + .... + c, temos que a derivada P'(x) = a*n*x^(n-1) + .... .dai quando dividirmos P'(x) por P(x) teremos como primeiro termo no quociente n*x^(-1) e portanto S0 = n (ou seja, a ordem do polinomio). Isto e razoavel nao e? Veja que temos n raizes e a soma das potencias de ordem zero (isto e 1) destas raizes sera n. Como no exemplo mostrei um polinomio e de grau 2, S0 = 2.</div> <div> </div> <div>Ou basta montar a divisao (no exemplo as raizes sao 2 e 3)</div> <div>===1)</div> <div>2x - 5..................| x^2 - 5x + 6</div> <div>-2x + 10 - 12x^(-1).|---------------------</div> <div>----------------------------....2x^(-1)</div> <div> </div> <div>5 - 12^x(-1) Dai S0 = 2 = 2^(0)
+ 3^(0)</div> <div> </div> <div> </div> <div>===2)</div> <div>5 - 12^x(-1)................| x^2 - 5x + 6</div> <div>-5 + 25^x(-1) - 30x^(-2).|---------------------</div> <div>----------------------------------....5x^(-2)</div> <div> </div> <div>13^x(-1) - 30x^(-2) Dai S1 = 5 = 2^(1) + 3^(1)</div> <div> </div> <div>===3)</div> <div>13^x(-1) - 30x^(-2) ...............| x^2 - 5x + 6</div> <div>-13^x(-1) + 65x^(-2) - 78x^(-3).|---------------------</div> <div>---------------------------------------------....13x^(-3)</div> <div> </div> <div>35^x(-2) - 78x^(-3) Dai S2 = 13 = 2^(2) + 3^(2)</div> <div> </div> <div>e assim sucessivamente.</div> <div><BR><B><I>colombo
<jones.colombo@xxxxxxxxx></I></B> escreveu:</div> <BLOCKQUOTE class=replbq style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: #1010ff 2px solid">Luis, você tem certeza disto? Porque S0=2? Acho que não é bem assim não!<BR>Jones<BR><BR> <DIV class=gmail_quote>2008/2/13 Luis Matos <<A href="mailto:luispvale@xxxxxxxxxxxx";>luispvale@xxxxxxxxxxxx</A>>:<BR> <BLOCKQUOTE class=gmail_quote style="PADDING-LEFT: 1ex; MARGIN: 0pt 0pt 0pt 0.8ex; BORDER-LEFT: rgb(204,204,204) 1px solid"> <DIV>Se dividirmos P'(x) por P(x) teremos como polinomio quociente algo da forma Q(x) = S0*x^(-1) + S1*x(-2) + S2*x(-3) + .....</DIV> <DIV>Temos que:</DIV> <DIV>Sq = soma das potencias de ordem q das raizes de P(x).</DIV> <DIV>Acho que isso e devido a Newton!?</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>Exemplo:</DIV> <DIV>P(x) = x^2 - 5x + 6</DIV> <DIV>P´(x) = 2x - 5.</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>=> P´(x) = P(x)*( 2x^(-1) +5x^(-2) +13x^(-3)
+35x^(-4) + .... )</DIV> <DIV>S0 = 2, S1 = 5, S2 = 13, S3 = 35, ....</DIV> <DIV> </DIV> <DIV>Luis Matos.<BR><BR><B><I>Artur Costa Steiner <<A href="mailto:artur.steiner@xxxxxxxxxx"; target=_blank>artur.steiner@xxxxxxxxxx</A>></I></B> escreveu:</DIV> <DIV> <DIV></DIV> <DIV class=Wj3C7c> <BLOCKQUOTE style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT: rgb(16,16,255) 2px solid"> <DIV><FONT face=Arial color=#0000ff size=2><SPAN>Se q é um inteiro positivo, existe alguma forma relativamente fácil de se determinar a soma das potências q das raízes de um polinômio? Algo, por exemplo, baseado nas reações de Girard?</SPAN></FONT></DIV> <DIV><FONT face=Arial color=#0000ff size=2><SPAN></SPAN></FONT> </DIV> <DIV><FONT face=Arial color=#0000ff size=2><SPAN>Obrigado</SPAN></FONT></DIV> <DIV><FONT face=Arial color=#0000ff size=2><SPAN>Artur</SPAN></FONT></DIV></BLOCKQUOTE><BR></DIV></DIV> <DIV class=WgoR0d> <div></div> <HR
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