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Temos sempre
f(x,y) = x ou
f(x,y) = -x ou
f(x,y) = y ou
f(x,y) = -y
Se x e y forem diferentes de 0 e tivermos |x| <> |y|, entao pequenos deslocamentos em torno de (x,y) não alteram qual dos possiveiso 4 ramos da funcao vigora, certo? Logo, f é diferenciavel em tais
pontos (tem derivadas parciais continuas no ponto e em uma vizinhanca do ponto, que sao constantes em 1 ou em 0).
Mas se |x| = |y|, entao mesmo com x e y nao nulos, f nao eh diferenciavel.
Artur
--Mensagem original-----
De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em nome de
Francisco
Enviada em: quarta-feira, 9 de janeiro de 2008 14:51
Para: Lista de discursão
Assunto: [obm-l] diferenciabilidade da função SUP
Olá Pessoal!
Mais um probleminha que consigo concluir!!!
Problema: Estude a diferenciabilidade de f(x,y) = sup{|x|,|y|}.
Consegui verificar f não é difenciável em (0,0) e que elá é diferenciável nos pontos da forma (x,0), com x não nulo , e (0,y), com y não nulo. Meu problema é estudar a diferenciabilidade desta nos pontos da forma (x,y), com x e y não nulos (simultaneamente!).
Se alguém tiver alguma idéia, fico muito grato!
OBS.: (1) Para mostrar que f não é difenciável na origem, calculei a derivada parcial de f em relação a x e cheguei ao limite da função : |t|/t, quando t -> 0, o qual não existe;
(2) e para mostrar, por exemplo, que f é dif. em (0,y), com y<>0 , usei que f(0,y) = |y| = [g º p](0,y), onde g é a função modular (que é derivável em R*) e p é projeção na segunda coordenada (que é dif.).
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| Francisco |
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