[SPAM] Res: Res: [obm-l] Produto finito

[Rodrigo Cientista <rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx>]

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Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da AT&T "Integer sequences research" (pesquisa em sequência de inteiros), e me parece que pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para este produto, pois acredito (achismo) que geralmente eles colocam a fórmula fechada, ou recursiva como queira, caso existente nas páginas de sequência de inteiros.

Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4)

Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o assunto, pois a AT&T possui CPUs dentre as com maior capacidade de processamento do mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso mesmo!!!), no caso teoria dos números, para testar por exemplo milhares de conjecturas sobre números primos e similares.

link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686

Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primes&language=english&go=Search

Divirtam-se,
Rodrigo

----- Mensagem original ----
De: albert richerd carnier guedes <arcguede@xxxxxxxxx>
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59
Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito

Rodrigo Renji escreveu:
> Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo
>  

> produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )

> onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo.
>
> A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
> depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
> como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
> simples eu acho
>
> abraços
>
> Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
>  
>> Rodrigo Cientista escreveu:
>> Caro Nehab,
>>    
>
> uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
>  
>> negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
>> calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
>> de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
>> geralmente, -N! = (-1)^N *
>> N!
>>    
>
> ***************************************************************************************************
>
> Carlos
>  
>> Nehab
>>    
> Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
> Oi, Albert (e Ponce)
> Faltou aplicar o
>  
>> fatorial em cada parcela do produtório...
>>    
> Nehab
>
> ----- Mensagem original
>  
>> ----
>>    
> De: Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>
> Para:
>  
>> obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>>    
> Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
>  
>> 3:36:56
>>    
> Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
>
> Ola' Albert,
> voce deve ter se
>  
>> enganado com alguma coisa no texto.
>>    
> Do jeito que esta' , o produto e' sempre
>  
>> zero.
>>    
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> Em 27/11/07, albert richerd carnier
>  
>> guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
>>    
>
>  
>> Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
>>    
> Alguém sabe qual
>  
>> é o valor do produto finito
>>    
>
> P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
>  
>> N^2 )em função de N.
>>    
>
> Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
>  
>> (N+1)!N!.
>>    
>
> Agradeço qualquer
>  
>> sugestão.
>>    
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> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>    
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>
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>>    
> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>    
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>
>
>  
>> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
>> armazenamento!
>>    
> http://br.mail.yahoo.com/
>
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> Instruções
>  
>> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
>> em
>>    
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>
>  
>> Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
>>
>> P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
>>    
>
> sempre começa em
>  
>> 2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
>>    
>
> Ele é bem mais fácil de achar.
> Se
>  
>> tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
>>    
>
> a_n = ( 1 - n )( 1 + n
>  
>> )
>>    
>
> e teremos o produto
>
> P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N
>  
>> )]
>>    
>
> e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis
>
> P_1 = ( 1 - 2 ) ...
>  
>> ( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!
>>    
> P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )
>  
>> ... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2
>>    
>
> E teremos
>
> P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(
>  
>> N +1 )!/2
>>    
>
>
> Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito
>  
>> deles.
>>    
> Não sei pra que servem, mas acho muito legais.
>
>  
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>    
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>
>  

Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
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