Re: Res: Res: [obm-l] Produto finito

[albert richerd carnier guedes <arcguede@xxxxxxxxx>]

Valeu Rodrigo.
Quanto ao produto que propus, encontrei uma solução em termos dos 
números de Stirling, que foi um toque do nosso colega Rodrigo Renji.
Em resumo, olhando os emails anteriores, chega-se a solução em forma de 
somatórias de números de Stirling. Essa somatória dupla têm seus 
elementos complexos anulados, como se espera, pois o produto é real. O 
que sobra é uma somatória ao quadrado de elementos pares e de elementos 
ímpares.
Mas notei que a somatória dos elementos pares é igual em modulo a 
somatoria dos elementos impares, o que chega ao resultado final

prod^N_{n=0} ( 1 + n^2 ) = [ sum^M_n=0 s( N+1, 2n ) ]^2

onde M=[(N+1)/2], que é o maior inteiro da divisão de N+1 por 2, e 
s(N+!,2n) é o numero de Stirling de primeira ordem.

É o mais simples que consegui chegar até agora na solução, so falta 
achar uma relação explicita para colocar a somatoria em funcao dos de N.

Agradeço a todos que me ajudaram nesta questao.

Rodrigo Cientista escreveu:
> Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da AT&T "Integer sequences research" (pesquisa em sequência de inteiros), e me parece que pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para este produto, pois acredito (achismo) que geralmente eles colocam a fórmula fechada, ou recursiva como queira, caso existente nas páginas de sequência de inteiros.
>
> Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4)
>
> Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o assunto, pois a AT&T possui CPUs dentre as com maior capacidade de processamento do mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso mesmo!!!), no caso teoria dos números, para testar por exemplo milhares de conjecturas sobre números primos e similares.
>
> link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686
>
> Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primes&language=english&go=Search
>
> Divirtam-se,
> Rodrigo
>
> ----- Mensagem original ----
> De: albert richerd carnier guedes <arcguede@xxxxxxxxx>
> Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59
> Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito
>
> Rodrigo Renji escreveu:
>   
> > Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta certo
> >  
> >     
>
>   
> > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
> >     
>
>   
> > onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo.
> >
> > A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
> > depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
> > como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
> > simples eu acho
> >
> > abraços
> >
> > Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
> >  
> >     
> > > Rodrigo Cientista escreveu:
> > > Caro Nehab,
> > >    
> > >       
> > uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
> >  
> >     
> > > negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
> > > calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
> > > de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
> > > geralmente, -N! = (-1)^N *
> > > N!
> > >    
> > >       
> > ***************************************************************************************************
> >
> > Carlos
> >  
> >     
> > > Nehab
> > >    
> > >       
> > Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
> > Oi, Albert (e Ponce)
> > Faltou aplicar o
> >  
> >     
> > > fatorial em cada parcela do produtório...
> > >    
> > >       
> > Nehab
> >
> > ----- Mensagem original
> >  
> >     
> > > ----
> > >    
> > >       
> > De: Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>
> > Para:
> >  
> >     
> > > obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > >    
> > >       
> > Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
> >  
> >     
> > > 3:36:56
> > >    
> > >       
> > Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
> >
> > Ola' Albert,
> > voce deve ter se
> >  
> >     
> > > enganado com alguma coisa no texto.
> > >    
> > >       
> > Do jeito que esta' , o produto e' sempre
> >  
> >     
> > > zero.
> > >    
> > >       
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 27/11/07, albert richerd carnier
> >  
> >     
> > > guedes<arcguede@xxxxxxxxx> escreveu:
> > >    
> > >       
> >  
> >     
> > > Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
> > >    
> > >       
> > Alguém sabe qual
> >  
> >     
> > > é o valor do produto finito
> > >    
> > >       
> > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
> >  
> >     
> > > N^2 )em função de N.
> > >    
> > >       
> > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
> >  
> >     
> > > (N+1)!N!.
> > >    
> > >       
> > Agradeço qualquer
> >  
> >     
> > > sugestão.
> > >    
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> > > Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
> > >
> > > P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
> > >    
> > >       
> > sempre começa em
> >  
> >     
> > > 2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
> > >    
> > >       
> > Ele é bem mais fácil de achar.
> > Se
> >  
> >     
> > > tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
> > >    
> > >       
> > a_n = ( 1 - n )( 1 + n
> >  
> >     
> > > )
> > >    
> > >       
> > e teremos o produto
> >
> > P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N
> >  
> >     
> > > )]
> > >    
> > >       
> > e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis
> >
> > P_1 = ( 1 - 2 ) ...
> >  
> >     
> > > ( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!
> > >    
> > >       
> > P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )
> >  
> >     
> > > ... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2
> > >    
> > >       
> > E teremos
> >
> > P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(
> >  
> >     
> > > N +1 )!/2
> > >    
> > >       
> > Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito
> >  
> >     
> > > deles.
> > >    
> > >       
> > Não sei pra que servem, mas acho muito legais.
> >
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> Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
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