[obm-l] lim n --> oo x_n = a(1^a + 2^a +.....n^a)/[n^(a +1)]

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Se a <= -1, podemos mostrar, sem maiores dificuldades, que x_n --> oo

Se a = 0, x_n --> 1 trivialmente 

Se a> 0,  verificamos que x_n é uma sequencia de somas de Riemman da função x --> x^a, computadas sobre o intervalo [0,1], com relação a particoes cuja norma (comprimento do maior intervalo, no caso 1/n) tende a 0. Como x --> x^a é definida e contínua, logo integrável, em [0,1] para a >0, temos que x_n --> Integral (0 a 1) x^a dx = 1/(a + 1).

Vemos, assim, que, para todo a >=0, x_n --> 1(a + 1).

Minha duvida eh quando a esta em (-1, 0). A função x --> x^a continua tendo integral 1/(a +1) sobre [0,1], mas é integral impropria, pois a funcao nao eh definida e nao tem limite em x = 0 e nem mesmo eh limitada em (0,1]. Assim, o argumento das somas de Riemann nao eh mais valido. Mas acredito que o limite de x_n continua sendo 1/(a +1), embora nao tenha conseguido provar. Isto eh verdade? Se for, como podemos provar?   

No caso de a >0 (e, talvez, no caso a> -1), podemos ver x_n como uma sequencia de funcoes f_n de a que converge para funcao f(a) = 1/(a +1). Tentei analisar se a convergencia é uniforme, mas noa conclui. Alguma sugestao?

Obrigado
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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