è verdade Albert,
Somatórias são mais tratáveis, na verdade eu posso realizar a
multiplicação e notar que os diversos fatores formam certos padrões de
soma, mas sem sucesso em expor que padrões são esses numa fórmula
fechada.
Para n = 4, por exemplo, notei que P = 2 + (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)^2 +
2*(4!)^2 - (1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4), o que falha para n> 4... por ter
encontrado tal fórmula, talvez tenha me passado algum detalhe
despercebido que alguém da lista possa completar.
quanto aos logaritmos, log (ab) = log a + log b, mas log (abc) = log a
+ log b + log c? ou mais geralmente, log (abc...n) = log a + log b +
log c +...+ log n?
----- Original Message ----- From: "albert richerd carnier guedes"
<arcguede@xxxxxxxxx>
To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Sent: Tuesday, December 11, 2007 11:17 PM
Subject: Re: [obm-l] prova de impossibilidade
rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx escreveu:
Olá,
Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em
que se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula
fechada, ou de recorrência.
Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para
um produto que o colega Albert colocou aqui na lista:
P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2)
E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada
eu poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de
achar a fórmula.
Belo ponto de vista Rodrigo.
E se formos verificar, todo produto finito se reduz a uma somatória
de logaritmos
ln( Prod^N_{n=0} a_n ) = Sum^N_{n=0} ln(a_n)
Se der pra provar que esta soma tem fórmula fechada, então dá pra
provar que o produto tambêm têm.
Como
ln(a_n) = 2. Sum^Infty_{k=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + )
]^{2k+1}
Assim fica o problema de resolver a soma
b_k = Sum^N_{n=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 ) ]^{2k+1}
e depois a soma
S = 2. Sum^Infty_{k=0} b_k
Não sei se trocar um problema por dois resolve, mas acho que
somatóriass são mais tratáveis do que produtos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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