Re: [obm-l] prova de impossibilidade

[albert richerd carnier guedes <arcguede@xxxxxxxxx>]

rodrigocientista@xxxxxxxxxxxx escreveu:
> Olá,
>  
>  
> Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em que 
> se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula fechada, 
> ou de recorrência.
>  
> Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para um 
> produto que o colega Albert colocou aqui na lista:
>  
> P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2)
>  
> E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada eu 
> poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de achar a 
> fórmula.
Belo ponto de vista Rodrigo.
E se formos verificar, todo produto finito se reduz a uma somatória de 
logaritmos


ln( Prod^N_{n=0} a_n ) = Sum^N_{n=0} ln(a_n)


Se der pra provar que esta soma tem fórmula fechada, então dá pra provar 
que o produto tambêm têm.
Como


ln(a_n) = 2. Sum^Infty_{k=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 )  
]^{2k+1}


Assim fica o problema de resolver a soma


b_k = Sum^N_{n=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 )  ]^{2k+1}


e depois a soma


S = 2. Sum^Infty_{k=0} b_k


Não sei se trocar um problema por dois resolve, mas acho que somatóriass 
são mais tratáveis do que produtos.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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